Matlab：计算矢量和解析曲面的交点

Question

我想计算由下式给出的向量在 R^3 中的交点 p + alpha * n 其中 x 是空间向量，n 是另一个向量，alpha 是要确定的标量。

表面由公式以解析形式给出

f(x,y) = [x, y, z(x,y)] 其中 z(x,y) 可以是任意非线性表面描述

我设置了一个线性化：

 [n1 n2   n3        ] (d_alpha)= [p1 + alpha*n1 - x]
 [-1  0  -dz(x,y)/dx] (d_x)    = [p2 + alpha*n2 - y]
 [ 0 -1  -dz(x,y)/dx] (d_y)    = [p3 + alpha*n3 - z(x,y)]

并搜索以 alpha、x 和 y 的起始值进行迭代

但是，我似乎无法在这里收敛。知道我的错误在哪里吗？

提前致谢

Answer 1

你可以把你的方程式写成

x_line(a) = p1 + a * n1
y_line(a) = p2 + a * n2 
z_line(a) = p3 + a * n3
z_plane(x, y) = fun(x, y)

假设您的问题有一个唯一的解决方案，那么平面上方直线沿 z 方向 dz 的高度是 a 的函数

dz(a) = z_line(a) - fun(x_line(a), y_line(a))
      = p3 + a * n3 - fun(p1 + a * n1, p2 + a * n2)

要找到线与平面的交点，您只需找到a 的值，其中dz 为零。这可以在 Matlab 中使用 anonymous function 和 fzero 来完成，如下所示：

dz = @(a) = p3 + a * n3 - fun(p1 + a * n1, p2 + a * n2);
a_intersect = fzero(dz, a0);

其中a0 是a 的一些（任意）起始猜测。 您可能想阅读一些有关光学光线追踪的信息，我想您可能会在网上找到一些介绍性的大学笔记。这是一个非常标准的问题，例如光线与曲面透镜或抛物面镜的交集。