如何生成随机图？

Question

我希望能够在 Java 中生成随机、无向和连通图。另外，我希望能够控制图中的最大顶点数。我不确定解决此问题的最佳方法是什么，但我能想到以下几种方法：

(1) 生成一个介于0 和n 之间的数字，并将其作为顶点数。然后，以某种方式将顶点随机链接在一起（可能为每个顶点生成一个随机数，并将其作为从所述顶点出来的边数）。从任意顶点开始遍历图（比如使用广度优先搜索），让我们的随机图 G 成为所有访问节点（这样，我们确保 G 已连接）。

(2) 生成一个随机方阵（由0 和1 组成），边长在0 和n 之间（不知何故）。这将是我们图的邻接矩阵（矩阵的对角线应该全部为1 或全部为0）。从图中做一个数据结构，从任意节点遍历图，得到一个连接的节点列表，称之为图G。

欢迎任何其他生成足够随机图的方法。 注意：我不需要纯随机图，即您生成的图不必具有任何特殊的数学属性（例如某种一致性）。我只是需要很多图表来测试其他东西。

这是我正在使用的 Java Node 类：

public class Node<T> {
    T data;
    ArrayList<Node> children= new ArrayList<Node>();
    ...}

这是我正在使用的Graph 类（你可以知道为什么我现在只对连通图感兴趣）：

public class Graph {
    Node mainNode;
    ArrayList<Node> V= new ArrayList<Node>();

    public Graph(Node node){
        mainNode= node;
    }
    ...}

例如，这就是我现在为测试目的制作图表的方式：

//The following makes a "kite" graph G (with "a" as the main node).

/*     a-b
        |/|
        c-d
*/
Node<String> a= new Node("a");
Node<String> b= new Node("b");
Node<String> c= new Node("c");
Node<String> d= new Node("d");
a.addChild(b);
a.addChild(c);
b.addChild(a);
b.addChild(c);
b.addChild(d);
c.addChild(a);
c.addChild(b);
c.addChild(d);
d.addChild(c);
d.addChild(b);
Graph G1= new Graph(a);

Answer 1

唯一棘手的部分是确保最终图是连接的。为此，您可以使用disjoint set data structure。跟踪组件的数量，最初为 n。重复选择随机顶点对 u 和 v，将边 (u, v) 添加到图和不相交的集合结构中，并在该结构告诉您 u 和 v 属于不同组件时减少组件计数。当组件计数达到 1 时停止。（请注意，使用邻接矩阵简化了管理图中已经存在边 (u, v) 的情况：在这种情况下，adj[u][v] 将设置为 1第二次，根据需要没有效果。）

如果您发现这会创建太密集（或太稀疏）的图，那么您可以使用另一个随机数添加边，仅当端点已经是同一组件的一部分时（或者当它们是不同组件的一部分），对于一些 k。

Answer 2

无论你想对你的图表做什么，我猜它的密度也是一个重要的参数。否则，您只需使用随机大小生成一组小团（完整图），然后随机连接它们。

如果我是正确的，我建议您使用Erdős-Rényi model：它很简单，与您最初提出的建议相距不远，并且允许您控制图形密度（因此，基本上：链接数） .

以下是对该模型的简短描述：

1. 定义一个概率值 p（p 越高，图越密集：0=无链接，1=全连通图）；
2. 创建您的 n 个节点（作为对象、作为邻接矩阵或任何适合您的东西）；
3. 每对节点都以（独立的）概率 p 连接。因此，您必须使用此概率 p 来确定它们之间是否存在联系。例如，我猜你可以随机绘制一个介于 0 和 1 之间的值 q 并创建链接 iff q

使用此模型，如果您的 p 足够大，那么您的图很可能是连接的（请参阅 Wikipedia 参考以了解详细信息）。在任何情况下，如果您有多个组件，您还可以通过在不同组件的节点之间创建链接来强制其连接。首先，您必须通过执行广度优先搜索（每个组件一个）来识别每个组件。然后，您选择两个不同组件中的节点对，在它们之间创建链接并将两个组件视为合并。重复这个过程，直到剩下一个组件。

Answer 3

以下论文提出了一种算法，该算法均匀对具有规定度数序列的连接随机图进行采样，并具有高效的实现。它在多个库中可用，例如 Networkit 或 igraph。

Fast generation of random connected graphs with prescribed degrees. Fabien Viger，马蒂厄·拉塔皮

在随机图上进行模拟时要小心：如果它们的采样不均匀，那么它们可能具有影响模拟的隐藏属性；或者，均匀采样的图可能与您的代码在实践中遇到的图大不相同...