假设我在图 G = (V,E) 上运行了 Ford-Fulkerson 算法，结果是一个与最小割相关联的最大流 fmax最小。我有兴趣通过增加图中任何一条边的容量来尽可能地增加流量。如何识别这条边？
一种策略可能是：给定初始顶点s和最终顶点t，考虑从s到的所有路径>t 并验证容量较低的边缘。例如，如果我有一个 1/1 的边，这就是我必须增加容量的顶点。
有解决这个问题的通用算法吗？
【问题讨论】：
标签： algorithm graph graph-algorithm max-flow ford-fulkerson
一旦你在图中找到了最大流量，增加边 (u, v) 的容量只会增加最大流量，前提是在图中存在从 s 到 u 和从 v 到 t 的正容量路径残差图。如果不是这样，那么增加后残差图中就没有增广路径，因此最大流量将保持最大。
在具有此属性的边 (u, v) 中，增加 (u, v) 的容量后，您可以从 s 推送到 t 的最大额外流量将是有界的。如果你可以推动任何流穿过这条边，你必须通过找到从 s 到 u 的路径和从 v 到 t 的路径来做到这一点。这样做时，两条路径中的每一条都会有一个瓶颈边缘，并且流量不能增加超过这个。因此，解决该问题的一种选择是执行以下操作：
换句话说，如果你可以计算图中的最大瓶颈路径，你可以找到应该在时间 O(B(m, n) + m) 上增加的边，其中 B(m, n) 是计算图中最大瓶颈路径的成本。
幸运的是，这是一个经过充分研究的问题，可以使用 Dijkstra 算法的变体来解决，该算法不是存储到每个节点的最小成本路径，而是存储到每个节点的最大瓶颈路径。一个快速的谷歌搜索应该会出现一些额外的信息。使用斐波那契堆，您可以在 O(m + n log n) 时间内实现此搜索，因此识别应该增加容量的边的总运行时间也应该是 O(m + n log n)。
希望这会有所帮助！
【讨论】：