连通图中的桥梁

Question

我有一个编程任务（不是家庭作业。）我必须在图中找到桥梁。我自己做了一些工作，但无法提出任何令人满意的结果。所以我用谷歌搜索了它，我确实找到了一些东西，但我无法理解它所呈现的算法。有人可以看看这段代码并给我一个解释吗？

public Bridge(Graph G) {
    low = new int[G.V()];
    pre = new int[G.V()];
    for (int v = 0; v < G.V(); v++) low[v] = -1;
    for (int v = 0; v < G.V(); v++) pre[v] = -1;

    for (int v = 0; v < G.V(); v++)
        if (pre[v] == -1)
            dfs(G, v, v);
}

public int components() { return bridges + 1; }

private void dfs(Graph G, int u, int v) {
    pre[v] = cnt++;
    low[v] = pre[v];
    for (int w : G.adj(v)) {
        if (pre[w] == -1) {
            dfs(G, v, w);
            low[v] = Math.min(low[v], low[w]);
            if (low[w] == pre[w]) {
                StdOut.println(v + "-" + w + " is a bridge");
                bridges++;
            }
        }

        // update low number - ignore reverse of edge leading to v
        else if (w != u)
            low[v] = Math.min(low[v], pre[w]);
    }
}

Answer 1

Def: Bridge 是一条边，移除后会断开图的连接（或将连通分量的数量加 1）。

关于图中桥梁的一项观察；属于循环的所有边都不能是桥。因此，在诸如A--B--C--A 之类的图形中，删除任何边缘A--B、B--C 和C--A 都不会断开图形的连接。但是，对于无向图，边A--B 意味着B--A；这个边缘仍然可能是一座桥，它所在的唯一循环是A--B--A。因此，我们应该只考虑由后边缘形成的那些循环。这就是您在函数参数中传递的父信息有帮助的地方。它将帮助您不使用诸如A--B--A 之类的循环。

现在要识别后边缘（或循环），A--B--C--A 我们使用low 和pre 数组。数组pre类似于dfs算法中的visited数组；但我们不仅仅将顶点标记为已访问，而是用不同的数字标识每个顶点（根据它在 dfs 树中的位置）。 low 数组有助于识别是否存在循环。 low 数组标识当前顶点可以到达的最小编号（来自pre 数组）顶点。

让我们来处理这个图表A--B--C--D--B。

从 A 开始

dfs:   ^                 ^                 ^                 ^              ^
pre:   0 -1 -1 -1 -1  0--1 -1 -1  1  0--1--2 -1  1  0--1--2--3  1  0--1--2--3--1
graph: A--B--C--D--B  A--B--C--D--B  A--B--C--D--B  A--B--C--D--B  A--B--C--D--B
low:   0 -1 -1 -1 -1  0--1 -1 -1  1  0--1--2 -1  1  0--1--2--3  1  0--1--2--3->1

此时，您在图中遇到了一个循环/循环。在您的代码中，if (pre[w] == -1) 这次将是错误的。因此，您将进入 else 部分。 if 语句检查B 是否是D 的父顶点。不是，所以D 会将B 的pre 值吸收到low 中。继续这个例子，

dfs:            ^
pre:   0--1--2--3
graph: A--B--C--D
low:   0--1--2--1   

D 的 low 值通过代码 low[v] = Math.min(low[v], low[w]); 传播回 C。

dfs:         ^           ^           ^
pre:   0--1--2--3--1  0--1--2--3--1  0--1--2--3--1
graph: A--B--C--D--B  A--B--C--D--B  A--B--C--D--B
low:   0--1--1--1--1  0--1--1--1--1  0--1--1--1--1

现在，循环/循环已被识别，我们注意到顶点A 不是循环的一部分。因此，您打印出A--B 作为桥梁。代码low['B'] == pre['B'] 表示到B 的边将是一座桥。这是因为，我们可以从B 到达的最低顶点是B 本身。

希望这个解释有所帮助。

Answer 2

不是一个新的答案，但我在 Python 中需要它。以下是无向 NetworkX Graph 对象G 的算法翻译：

def bridge_dfs(G,u,v,cnt,low,pre,bridges):
    cnt    += 1
    pre[v]  = cnt
    low[v]  = pre[v]

    for w in nx.neighbors(G,v):
        if (pre[w] == -1):
            bridge_dfs(G,v,w,cnt,low,pre,bridges)

            low[v] = min(low[v], low[w])
            if (low[w] == pre[w]):
                bridges.append((v,w))

        elif (w != u):
            low[v] = min(low[v], pre[w])

def get_bridges(G):
    bridges = []
    cnt     = 0
    low     = {n:-1 for n in G.nodes()}
    pre     = low.copy()

    for n in G.nodes():
         bridge_dfs(G, n, n, cnt, low, pre, bridges)

    return bridges # <- List of (node-node) tuples for all bridges in G

注意 Python 对大图的递归深度限制器...

Answer 3

不是一个新的答案，但我需要这个用于 JVM/Kotlin。这是一个依赖com.google.common.graph.Graph的翻译。

/**
 * [T] The type of key held in the [graph].
 */
private class BridgeComputer<T>(private val graph: ImmutableGraph<T>) {
    /**
     * Counter.
     */
    private var count = 0
    /**
     * `low[v]` = Lowest preorder of any vertex connected to `v`.
     */
    private val low: MutableMap<T, Int> =
        graph.nodes().map { it to -1 }.toMap(mutableMapOf())
    /**
     * `pre[v]` = Order in which [depthFirstSearch] examines `v`.
     */
    private val pre: MutableMap<T, Int> =
        graph.nodes().map { it to -1 }.toMap(mutableMapOf())

    private val foundBridges = mutableSetOf<Pair<T, T>>()

    init {
        graph.nodes().forEach { v ->
            // DO NOT PRE-FILTER!
            if (pre[v] == -1) {
                depthFirstSearch(v, v)
            }
        }
    }

    private fun depthFirstSearch(u: T, v: T) {
        pre[v] = count++
        low[v] = checkNotNull(pre[v]) { "pre[v]" }
        graph.adjacentNodes(v).forEach { w ->
            if (pre[w] == -1) {
                depthFirstSearch(v, w)
                low[v] =
                    Math.min(checkNotNull(low[v]) { "low[v]" }, checkNotNull(low[w]) { "low[w]" })
                if (low[w] == pre[w]) {
                    println("$v - $w is a bridge")
                    foundBridges += (v to w)
                }
            } else if (w != u) {
                low[v] =
                    Math.min(checkNotNull(low[v]) { "low[v]" }, checkNotNull(pre[w]) { "pre[w]" })
            }
        }
    }

    /**
     * Holds the computed bridges.
     */
    fun bridges() = ImmutableSet.copyOf(foundBridges)!!
}

希望这能让某人的生活更轻松。

Answer 4

假设你有一个优势 (c,d)，你必须找出它是否是一座桥
有几种方法可以解决这个问题，但让我们专注于一种。

• 从c开始，你必须做一个BFS。
• 如果有边 c-d 则不要访问它。
• 通过访问布尔值来跟踪顶点。

最后，如果你发现 d 被访问了，这意味着通过删除 c-d 我们仍然可以从源 c 访问 d，因此 c-d 不是桥。 这是上述的简短实现：

int isBridge(int V, ArrayList<ArrayList<Integer>> adj,int c,int d)
{
    Queue<Integer> q = new LinkedList<>();
    boolean visited[] = new boolean[V];
    ArrayList<Integer> ls = new ArrayList<>();
    
    q.add(c);
    
    while(!q.isEmpty()) {
        
        Integer v = q.remove();
        
        if(visited[v])
            continue;

        visited[v] = true;
        ls.add(v);
        
        for(Integer e: adj.get(v)) {
            
            if(visited[e] || (c == v && d == e))
                continue;
            q.add(e);
        }
    }
    
    if(visited[d] == true)
        return 0;
    return 1;
    
}