3D 广告牌精灵背后的数学原理是什么？ （原为：3D 变换矩阵到 2D 矩阵）

Question

我在空间中有一个 3D 点。点的确切方向/位置通过 4x4 变换矩阵表示。

我想在这一点上画一个billboard (3D Sprite)。 我知道该点的投影位置（即3D->2D）；广告牌正对着相机，所以这也很有帮助。 我不知道广告牌应该有的缩放比例！

为了让事情变得更复杂，4x4 矩阵可能有各种变换：3D 旋转、3D 缩放、3D 转置。假设相机尽可能简单：定位在 (0,0,0)，不旋转。

那么，我可以从这个 4x4 矩阵中“提取”广告牌精灵的缩放比例吗？

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曾经：

我有一个 3D 仿射变换 4x4 矩阵。我需要将它（项目）转换为 2D 仿射变换 3x3 矩阵，如下所示：

3D 旋转无关紧要，如果存在可能会被丢弃；我只对翻译感兴趣，最重要的是缩放。

任何人都可以帮助计算每个 six 4 值的方程式吗？ （假设 t_x, t_y 也是已知的）

其他信息：

Matrix3D 是 3D 点的全局变换，例如 (0,0,0)。其目的是投影在 2D 平面（计算机屏幕）上。

我知道如何将 3D 点投影到 2D 空间，我正在寻找的是在位置之外保留额外的变换信息，即 scaling：如您所知，scaling 在 2D 平面上投影点时，属性也会改变。

我还忘了提到 透视投影 属性也是已知的，即：

field of view (single value)
focal length (single value)
projection center (viewpoint position - 2D value)

Answer 1

如果您不使用球坐标系，则此任务无法解决，因为在投影前丢弃 Z 坐标会移除投影点的距离，因此您不知道如何应用透视。

你有两个选择（除非我忽略了什么）：

1. 应用 3D 变换矩阵

   然后只使用 x,y - 结果的坐标

2. 为旋转/投影创建 3x3 变换矩阵

   并在应用它之前或之后添加偏移向量。请注意，这种方法不使用齐次坐标！！！

[Edit1] 清晰的方程式

不要忘记3x3 矩阵+向量变换不是累积的！！！这就是使用4x4 转换的原因。现在你可以扔掉最后一行矩阵/向量(Xz,Yz,Zz), (z0)，然后输出向量就是(x', y')。当然，在这之后你不能使用逆变换，因为你失去了 Z 坐标。

通过改变轴方向向量的大小来实现缩放

顺便说一句。如果您的投影平面也是 XY-plane 没有旋转，那么：

x' = (x-x0)*d/(z-z0)
y' = (y-y0)*d/(z-z0)

(x,y,z) - 指向项目
(x',y') - 投影点
(x0,y0,z0) - 投影原点
d - 焦距

[Edit2]问题编辑后的意思完全不同

我假设您希望精灵始终面向相机。它很丑陋，但简化了草、树等事物......

M - 你的矩阵
P - M 内的投影矩阵
如果您的原点是 M = (0,0,0) 没有旋转/缩放/倾斜，那么 M=P
pnt - 你的广告牌点（我假设是中心） (w=1) [GCS]
dx,dy - 广告牌的一半大小[LCS]
A,B,C,D - 广告牌的投影边缘[GCS]
[GCS] - 全球坐标系
[LCS] - 局部坐标系

1. 如果你知道投影矩阵

   我假设它是 glFrustrum 或 gluPerspective ...然后：

   (x,y,z,w)=(M*(P^-1))*pnt  // transformed center of billboard without projection
   A=P*(x-dx,y-dy,z,w)
   B=P*(x-dx,y+dy,z,w)
   C=P*(x+dx,y+dy,z,w)
   D=P*(x+dx,y-dy,z,w)
   

2. 如果您的 M 矩阵过于复杂，#1 无法工作

   MM=(M*(P^-1))     // transform matrix without projection
   XX=MM(Xx,Xy,Xz)   // X - axis vector from MM [GCS](look at the image above on the right for positions inside matrix)
   YY=MM(Yx,Yy,Yz)   // Y - axis vector from MM [GCS]
   X =(M^-1)*XX*dx   // X - axis vector from MM [LCS] scaled to dx
   Y =(M^-1)*YY*dy   // Y - axis vector from MM [LCS] scaled to dy
   A = M*(pnt-X-Y)
   B = M*(pnt-X+Y)
   C = M*(pnt+X+Y)
   D = M*(pnt+X-Y)
   

[Edit3] 仅缩放

MM=(M*(P^-1))      // transform matrix without projection
sx=|MM(Xx,Xy,Xz)|  // size of X - axis vector from MM [GCS] = scale x
sy=|MM(Yx,Yy,Yz)|  // size of Y - axis vector from MM [GCS] = scale y

Answer 2

比例矩阵S 如下所示：

sx 0  0  0
0  sy 0  0
0  0  sz 0
0  0  0  1

平移矩阵T 如下所示：

1  0  0  0
0  1  0  0
0  0  1  0
tx ty tz 1

Z轴旋转矩阵R如下图：

 cos(a) sin(a)  0  0
-sin(a) cos(a)  0  0
   0      0     1  0
   0      0     0  1

如果您有一个变换矩阵M，它是R、T 和S 矩阵的多次乘法的结果。查看M，这些乘法的顺序和数量是未知的。但是，如果我们假设 M=S*R*T 我们可以将其分解为单独的矩阵。首先让我们计算S*R*T：

        ( sx*cos(a) sx*sin(a) 0  0)       (m11 m12 m13 m14)
S*R*T = (-sy*sin(a) sy*cos(a) 0  0) = M = (m21 m22 m23 m24)
        (     0         0     sz 0)       (m31 m32 m33 m34)
        (     tx        ty    tz 1)       (m41 m42 m43 m44)

因为我们知道这是一个 2D 转换，所以翻译很简单：

translation = vector2D(tx, ty) = vector2D(m41, m42)

要计算旋转和缩放，我们可以使用sin(a)^2+cos(a)^2=1：

(m11 / sx)^2 + (m12 / sx)^2 = 1
(m21 / sy)^2 + (m22 / sy)^2 = 1

m11^2 + m12^2 = sx^2
m21^2 + m22^2 = sy^2

sx = sqrt(m11^2 + m12^2)
sy = sqrt(m21^2 + m22^2)

scale = vector2D(sx, sy)

rotation_angle = atan2(sx*m22, sy*m12)

Source

希望对你有帮助