反向复杂二维查找表

Question

我有一些函数 将一些输入 映射到输出。输出是一个复数。我真正感兴趣的是反函数。但由于这种反演不能以分析的方式完成，我需要用数值近似来完成。

由于 的计算成本很高，我的想法是使用查找表方法。我可以生成一个维度为（正向查找表）的二维查找表，但我真正需要的是这个查找表的倒数——基于给定的 生成。

对于查找表的反转，我能想到的最简单的方法是将正向查找表的条目用作顶点，并在规则网格中在它们之间进行插值，从而产生反向查找表。如果反向查找表对于所需的精度来说太大了，我会生成粗略表并将这些值用作优化算法的起始值。我还缺少什么更简单的方法吗？

其中、 是常量，、 是。

Answer 1

1. 对于f(x,y)，您可以使用f(x,y)->(a,b) 2D LUT（查找表）

   但存储的网格点必须选择得如此密集，以便每个网格矩形最多有一个凹凸，否则插值将无法正常工作。

   如果您想使用线性插值，则局部最小值/最大值必须是 LUT 内的点，因为并不总是需要更高阶的多项式插值。我会使用4 point cubic interpolation

2. 如何计算g(a,b)->(x,y)

   • 首先是否可以进行反向映射？
   • 那么有多少(x,y) 点返回相同的(a,b)=f(x,y)？
   • 同问题：f 是否起作用？

   如果f 不起作用，那么您遇到问题并且无法解决此问题，除非以某种方式将范围细分为f 起作用的子范围，然后您必须根据某些规则选择适当的范围取决于你想做什么。所以假设f 是函数

   那么如何计算(x,y)=g(a,b) 和f(x,y)=(a,b)？

   1. 我将从近似结果开始。因此，请在整个范围内尝试足够的 (x,y) 值，并将最接近的点存储到所需的输出，以使 |f(x,y)-(a,b)| 最小。

   2. 然后重新开始，但不是全范围，而是围绕这一点

      • 以递归方式将准确度提高到您需要的点。
      • 看这里Increasing accuracy of solution of transcendental equation那里我正在计算类似的问题有2D点的1D LUT (a(t),y(t))并且需要逆3D点(a0,y0,z0)你可以在那里使用我的近似类

近似嵌套是这样完成的：

int n=5;  // recursions
double e; // Error Of Solution Variable
approx ax,ay;
//            min    max   step   
for (ax.init(-100.0,+100.0,10.0,n,&e);!ax.done;ax.step())
for (ay.init(-100.0,+100.0,10.0,n,&e);!ay.done;ay.step())
    {
    e=|f(ax.a,ay.a)-(a,b)|;
    }
// here (ax.a,ay.a) should hold your solution for input point `(a,b)`

• 初始步骤应该尽可能小，以免错过任何碰撞
• 如果您的 g(a,b) 形状太复杂，那么这可能无法正常工作

由此您可以计算逆 LUT 表 ...

• 每次递归都将步骤除以10，因此请明智地选择n。

对于 2D 和奇异点来说，这个性能还不错O((log(N))^2)。我在 3D O((log(N))^3) 上执行此操作，每个 e 计算有 100 点，这非常慢（大约 35 秒）

• 其中N=(10^n)*(max-min)/step 和n 是递归数
• 准确度为step/(10^n)
• 不要忘记将最小值、最大值更改为您使用的范围...