确定恰好具有 4 个节点的子树数量的最佳方法是什么？答案

【问题标题】：What is the best way to determine the number of subtrees having exactly 4 nodes?确定恰好具有 4 个节点的子树数量的最佳方法是什么？
【发布时间】：2016-01-18 23:42:01
【问题描述】：

考虑使用指针表示的有根 n 节点二叉树。确定恰好具有 4 个节点的子树数量所需的时间的最佳上限是 O(n^a Log^b(n))。那么a+10b的值就是__________。

我的尝试：

某处算法如下：

int print4Subtree(struct Node *root) {
    if (root == NULL)
      return 0;
    int l =  print4Subtree(root->left);
    int r =   print4Subtree(root->right);
    if ((l + r + 1) == 4)
       printf("%d ", root->data);
    return (l + r + 1); }

这个算法运行 O(n) time ，所以答案是 1 。

它是正确的还是存在其他更好的算法？

请用正式/替代的方式解释一下。

【问题讨论】：

我没有看到任何日志因素进入图片。此外，您需要至少访问所有节点一次，因此复杂度最小为 O(n)，而这个算法是。所以，我想你是对的。
@vish4071 从理论上讲，你没有。您不必为每个子树查找第五个节点之后的节点。
@Magisch，为什么不呢？某个节点的第 5 个节点是其他节点的第 4 个。
@vish4071 但是你可以停止寻找那个子树。如果一个节点碰巧超过一棵树的第五个并且没有链接到其他树，它将不会被访问。
@j_random_hacker 在一个合理平衡的二叉树中，大约一半的节点是叶子（所以平均来说仍然是 O(n)），即使我们只是访问较低的节点。

标签： c algorithm binary-tree time-complexity asymptotic-complexity

【解决方案1】：

在计算机科学中，子树通常意味着它下面没有其他节点连接，但在图论中，术语子树并不意味着这一点——它仅表示也是一棵树的子图（节点和边的子集）。所以例如如果您有一个 10 节点路径，根在一端，则根据图论定义有 7 个子树，而不是 1 个。根据图论定义，通常有（很多）更多子树......这可能是问题中日志因子的来源。

另一方面，只有 恒定数量 的 4 节点有根二叉树——我总共数了 14 棵（8 棵高度为 3 的树，4 棵高度为 2 的树，其中root 有 2 个孩子，以及 2 个 height-2 树，其中 root 有 1 个孩子）。因此，即使使用新的、更广泛的定义，也可以检查树中的每个节点，以查看 14 个可能的 4 节点有根二叉树中的哪一个以该节点为根，并将此计数添加到总计中，全部在O(n) 时间。

【讨论】：