gcd(denominator,mod)!=1 的反模问题答案

【问题标题】：Issue with inverse modulo where gcd(denominator,mod)!=1gcd(denominator,mod)!=1 的反模问题
【发布时间】：2015-01-08 16:40:41
【问题描述】：

我如何计算F(n)%mod，其中mod 是质数。和F(n)=n!/(q!^r)%mod....（x^r 代表pow(x,r)）。

我正在尝试使用 fermat 的小定理来计算反模，但我面临的问题是 fermat 仅适用于 gcd(denominator,mod)=1。

那么有没有其他方法可以解决这个问题。

【问题讨论】：

这是什么语言的？它不能同时是 Java 和 C。
扩展欧几里得算法。谷歌它！

标签： java c algorithm math data-structures

【解决方案1】：

如果模数是素数，您可以使用扩展欧几里得算法计算逆：

function inverse(x, m)
    a, b, u = 0, m, 1
    while x > 0
        q = b // x # integer division
        x, a, b, u = b % x, u, x, a - q * u
    if b == 1 return a % m
    error "must be coprime"

如果模数是合数，只要 x 和 m 互质，这个算法仍然有效。如果它们共享一个因子，则逆不存在。

【讨论】：

【解决方案2】：

如果 gcd 不是 1，则没有模逆。就在 Wikipedia page 的顶部：

模 m 的乘法逆存在当且仅当 a 和 m 互质（即，如果 gcd(a, m) = 1）。

【讨论】：

【解决方案3】：

当您尝试计算此商模 p（对于某个素数）时，让我假设您知道结果是一个整数。

正如人们所提到的，如果 q >= p，那么你不能计算分母的倒数，因为 q! 与模数不互质，所以这个数不可逆。但这并不意味着您不能计算整个商模p。

令a、b分别为分子和分母中p因子的个数。因为结果是一个整数，所以我们有 a >= b。如果不等式是严格的，则结果为 0。否则，如果等式成立，我们可以从分子和分母中删除这些因素并继续，因为现在分母与 p 互质。

那么让我从有效计算这些 a、b 数字的方法开始。密钥被称为De Polignac's formula，它表示对于给定的k，可以计算出k! 中p 因子的数量像这样：

int polignac(int k, int p) {
  int res = 0, power = p;
  while (k >= power) {
    res += k/power;
    power *= p;
  }
  return res;
}

因此，我们获得了 n! 和 q! 的 p 因子，因此获得 是微不足道的q!^r 的 p 个因数（乘以 r）。

在严格不等式的情况下，我们完成了。如果不是，我们必须计算分子和分母的模数，“删除”所有 p 因子。这也可以有效解决。我们可以这样写k!：

k！ = 1 x 2 x 3 x ... x p x (p + 1) x (p + 2) ... x (p^2) x ...

如果我们去掉 p 因素并应用模数，我们有以下结果：

k！ = 1 x 2 x 3 x ... x（这里什么都没有，只有一个 1）x 1 x 2 ... x（另一个 1）x ...

因此，相同的产品不断重复直到结束。所以计算 1 x 2 x ... x (p - 1) 模 p，将其提高到适当的幂模 p（使用快速取幂），然后将其乘以“剩余”项，因为一般 k 不能被 p 整除。

【讨论】：