n 步的图遍历

Question

给定一个像这样的简单无向图：

从 D、A、B 或 C (V_start) 开始——我必须计算从 n 的起点 (V_start) 到起点 (V_start) 的可能路径数步骤，每个边和顶点可以被无限次访问。

我正在考虑进行深度优先搜索，当steps > n || (steps == n && vertex != V_start) 时停止，但是，如果，例如n = 1000000，这将变得相当昂贵。我的下一个想法使我将 DFS 与动态编程结合起来，但是，这就是我遇到的问题。

（这不是家庭作业，只是为了学习，我被困在玩图表和算法。）

我将如何在合理的时间内使用大型 n 解决这个问题？

Answer 1

这个任务是通过矩阵乘法来解决的。

创建包含 0 和 1 的矩阵 nxn（如果有从 i 到 j 的路径，则为单元格 mat[i][j]）。将此矩阵乘以自身k 次（考虑使用快速矩阵求幂）。然后在矩阵的单元格mat[i][j] 中，您有长度为k 的路径数，从i 开始，以j 结束。

注意：快速矩阵求幂与快速求幂基本相同，只是将数字乘以矩阵。

注意2：假设n 是图中的顶点数。然后我在这里提出的算法运行时间复杂度为 O(log _k * n³)，内存复杂度为 O(n ²)。如果您使用如here 所述的优化矩阵乘法，则可以进一步改进它。那么时间复杂度会变成O(log _k * n^log₂7)。

---

编辑应 Antoine 的要求，我解释了为什么该算法确实有效：

我将通过归纳证明算法。归纳的基础很明显：最初我在矩阵中有长度为 1 的路径数。

让我们假设直到k 的幂，如果我将矩阵提升到k 的幂，我在mat[i][j] 中有长度为k 的路径数在i 和j 之间。

现在让我们考虑下一步k + 1。很明显，每条长度为k + 1 的路径都由长度为k 的前缀和一条边组成。这基本上意味着长度为k + 1 的路径可以通过以下方式计算（这里我用mat_pow_k 表示矩阵提升到kth 次方）

num_paths(x, y, k + 1) = sum_i=0^{i mat_pow_k[x][i] * mat[i][y]}

同样：n 是图中的顶点数。这可能需要一段时间才能理解，但基本上只有在x 和y 之间存在直接边缘时，初始矩阵在其mat[i][y] 单元格中才具有1。我们计算这种边缘的所有可能前缀以形成长度为k + 1的路径。

然而我写的最后一件事实际上是计算mat的k + 1st幂，这证明了归纳的步骤和我的陈述。

Answer 2

这很像一个动态规划问题：

1. 将 a f[n][m] 定义为从起点到点 n 的路径数，步长为 m
2. 从每个点 n 到其相邻的 k，您有公式：f[k][m+1] = f[k][m+1] + f[n][m]
3. 初始化时，所有的f[n][m]都会为0，但是f[starting_point][0] = 1
4. 因此您可以计算最终结果

伪代码：

memset(f, 0, sizeof(f));
f[starting_point][0] = 1;
for (int step = 0; step < n; ++step) {
    for (int point = 0; point < point_num; ++point) {
        for (int next_point = 0; next_point < point_num; ++ next_point) {
            if (adjacent[point][next_point]) {
                f[next_point][step+1] += f[point][step];
            }
        }
    }
}
return f[starting_point][n]