证明非整数浮点数中小数点右侧的最后一个非零数字始终为 5？

Question

非整数浮点数中小数点右边的最后一个非零数字是否总是5？可以/有人正式证明[编辑]这一点吗？此外，需要在小数点右侧连续多少个 0 才能得出在右侧没有更多非零数字的结论——我见过 #s 例如 1.23450678500000 （一个例子，可能不是真实的float)，所以我知道它至少是两个。

Answer 1

关于第二个问题（叙述）： >>> v 1.5000005 #好的

>>> print("%f") % (v)
1.500001
**# Maybe not...**

>>> print("%.15f") % (v)
1.500000500000000
**# Ends in 5, so OK now, right?  No! It should've rounded to even.  Huh?**

>>> print("%.16f") % (v)
1.5000005000000001
**# "16 decimal digits is accuracy", I learned in school** 

>>> print("%.31f") % (v)
1.5000005000000000698889834893635
**#NOT SO FAST; but now I found the real value since it ends in 5--see, "I'm smart, and I want respect" (Fraedo)**

>>> print("%.2000f") % (v)
1.50000050000000006988898348936345428228378295898437500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
**# I should have listened to mom, and been a Mail Man! (are there yet more lurking non-zero digits???)**

Answer 2

非整数浮点数中小数点右边最后一个非零数字是否总是5？

在二进制浮点格式中，如果数字不是整数，则其十进制数字的最后一个非零位为 5。

通常，浮点格式将数字表示为某个整数M乘以固定基数b的幂e：M•b^e，对M和e有各种限制时间>。如果 b 为 2，我们称其为二进制格式。二进制浮点格式是目前最常见的。一些平台提供十进制格式，其中 b 是 10。其他基数在数学上是可能的，但很少使用，尽管过去使用了 16。

要查看最后一位数字是 5，请考虑以下形式 M•b^e。这可以是非整数的唯一方法是 e 为负数。如果 M 是偶数，我们可以将形式简化为 (M/2)•b^{e -1}，并且，如果 M/2 也是偶数，我们可以进一步减少并继续减少，直到我们得到一个奇数乘以 2 的负幂。这相当于除乘以 2 的正幂。那么我们可以看到最后一位是 5：

• 如果我们除以 2¹，则数字是 0.5、1.5、2.5、3.5，依此类推。
• 如果我们除以 2²，则该数字是其中之一的一半，因此是 0.25、0.75、1.25、1.75 等等。
• 如果我们除以 2 的任何更大的幂，我们总是将某个以 5 结尾的数字除以 2，这意味着我们将 ½ 分数从 5 所在的位置带到下一个位置，产生一半10 那里，10 的一半是 5。

另外，我们可以看到，将一个数字乘以 2，即使重复，也永远不会使数字位置为 0，除非它是 0 或 5。乘以 1、2、3、4、6、7、8 或 9，将分别产生 2、4、6、8、2、4、6 和 8，将它们乘以 2 会产生来自同一集合的数字。所以，如果一个非整数乘以 2 的幂得到一个整数，它的最后一个非零数字必须是 5。

此外，小数点右侧需要连续多少个 0 才能断定右侧不再有非零数字……

这取决于具体的浮点格式。高精度格式可以表示非常接近某个数字 .xxxx500 但不等于它的数字。对于任何给定的浮点格式，必须对非零数字之前的零数量有所限制，但可能需要一些工作才能弄清楚。如果您担心找到准确表示浮点数所需的位数，还有其他方法可以解决。