没有矩阵存储的高斯消除

Question

我在执行高斯消除时遇到问题。矩阵 A 很大，不能用我的内存限制存储，但是，A 的元素可以描述为 i 和 j 的函数，即 A(i,j) = f(i,j)。

另外，我不需要计算得到的上三角矩阵的所有元素。

现在的问题， 如何更新高斯消元算法以使用 f(i,j) 计算结果矩阵的特定元素而不是计算所有元素？

更新： 这是我的 A 矩阵：

                a_{11} & a_{12}  & a_{13}  & a_{14}  & .. & a_{1L} 
                q_1    & a_{22}  & a_{23}  & a_{23}  & .. & a_{2L} 
                q_2    & q_1     & a_{33}  & a_{34}  & .. & a_{3L} 
                q_3    & q_2     & q_1     & a_{44}  & .. & a_{3L} 
                q_4    & q_3     & q_2     & q_1     & .. & a_{3L} 
                 :     &  :      & :       & :       & :  & : 
                 :     &  :      & :       & :       & :  & : 
                q_L    & q_{L-1} & q_{L-2} & q_{L-3} & .. & a_{LL}

Answer 1

假设您要计算条目(m,n)。 m 行，n 列。

第一：
如果m > n，则该条目将为零，因为它位于对角线下方。
如果m = n 条目将是一（条目在对角线上）

所以让m < n.

我认为您可以通过仅存储 m^2+m 条目来计算此条目：

1. 保存第一个m 条目和第一行的nth 条目，其中第一个条目不为零。将此条目称为M_11,M_12,...,M_1m,M_1n。
2. 将每个条目M_i除以M_1
3. 保存第一个m条目和第一行nth条目y与y_2 - y_1 * M_12不为零。
4. 将此行另存为M_21,M_22,...M_2m,M_2n
5. 为i = 2 ... m做M_2i = M_2i - M_1i * M_21
6. 对下一行执行相同操作：搜索对角线上有非零条目的行（减去已保存的行后）

最后（在m 行之后）条目M_mn 包含您的结果。

注意：如果必须切换两行，则必须保存新的行顺序。

关于空间和时间：
您可以使用空间来购买一些时间，反之亦然。如果您不想保存m^2 条目，可以只存储2m 条目，但这会花费您很多时间，在m 中达到指数级时间。

如果您对f(i,j) 有更多了解，可能有一种方法可以加快算法速度或减少所需空间。