关于如何使我的算法更快的建议

Question

这是我的 C 代码，用于解决 project-Euler 中的问题#3，我必须在其中找到 600851475143 的最大素数。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

bool is_prime(long int number){
     long int j;
     for (j=2; j<=number/2; j++){
             if (number%j==0) return false;
             if (j==number/2) return true;
            }
    }

int main(){

     long int input;
     scanf("%d", &input);
     long int factor;
     int ans=0;

     for (factor=input/2; factor>1; factor--){
             if (input%factor==0 && is_prime(factor)) {
                     ans = factor;
                     break;
                    }
            }

     printf("%d\n", ans);
     system("pause");
     return 0;
    }

虽然它适用于小数字，但逐渐它需要越来越多的时间才能给出答案。最后，对于 600851475143，代码返回 0，这显然是错误的。 有人可以帮忙吗？ 非常感谢。

Answer 1

需要考虑的几点：

1. 正如@Alex Reynolds 指出的那样，您尝试考虑的数字可能太大以至于无法放入int。您可能需要使用long 或uint64_t 来存储号码。仅此一项就可以解决问题。

2. 与其检查每个除数并查看哪些是素数，不如尝试以下方法：将 n 设置为 600851475143。对于从 2 向上的每个整数，尝试将 n 除以该整数。如果它干净地划分出来，则从 n 中划分出该数字的所有副本，并将最大的素数记录为当前整数。如果您稍微考虑一下，您会注意到您会以这种方式考虑的唯一除数是素数。作为一个有用的提示 - 如果 n 没有小于 √n 的除数（除了 1），那么它是素数。这可能有助于为您的搜索空间提供一个上限，该上限比您使用的除以二的技巧要严格得多。

3. 不要将除数加一，而是尝试将 2 作为除数进行测试，然后仅除以奇数（3、5、7、9、11 等）。除 2 之外，没有偶数是素数，因此这将您需要除以的数字数量减半。

或者，通过从 Internet 下载质数列表来创建一个存储所有质数的文件，直到 √600851475143，然后只需测试每个质数，看看它们中是否有任何一个除以 600851475143 并取最大。 :-)

希望这会有所帮助！

Answer 2

我建议您改进代码的素数检查部分。您的方法的运行时间为 O(n²)，因此您应该为此使用更有效的算法，例如使用 进行的著名 Miller-Rabin 素性检验O(klog³n)。 我这里给你一个伪代码，你可以自己写代码：

输入：n > 3，要测试素数的奇数；
输入：k，决定测试准确度的参数
输出：如果 n 是合数，则为合数，否则可能是素数
将 n - 1 写为 2s·d，其中 d 为奇数，通过从 n - 1 分解 2 的幂
WitnessLoop：重复k次：
   在 [2, n − 2] 范围内选择一个随机整数 a
   x ← 广告模式 n
   如果 x = 1 或 x = n - 1 然后执行下一个 WitnessLoop
   重复 s - 1 次：
      x ← x2 mod n
      如果 x = 1 则返回复合
      如果 x = n - 1 然后执行下一个 WitnessLoop
   返回复合
返回可能是素数

---

我提供了一个link 供您查看python 中的实现，该实现也将此算法与您的算法进行了比较。顺便说一句，这个算法在网上有很多实现，但我认为自己纠正它可能会帮助你更好地理解它。

Answer 3

试试下面的代码。它基本上实现了已接受答案中的要点。唯一的改进是它使用车轮分解跳过了所有 2、3 和 5 的倍数 http://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_factorization

//find largest prime factor for x <2^64
#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
int main() {
    uint64_t x = 600851475143;
    int wheel[] = {4,2,4,2,4,6,2,6};
    while(x>2 && x%2==0) x/=2;
    while(x>3 && x%3==0) x/=3;
    while(x>5 && x%5==0) x/=5;   
    for(uint64_t j=0, i=7; i<=x/i; i+=wheel[j++], j%=8) {
        while(x>i && x%i==0) x/=i;
    }
    printf("%llu\n", x);
}

可以做的另一件事是预先计算所有小于 2^32 的素数（而不是下载它们），然后只除以素数。我知道的最快的方法是Sieve of Eratosthenes。这是一个使用 OpenMP 的版本，它可以在不到一秒的时间内找到多达 10 亿个素数 http://create.stephan-brumme.com/eratosthenes/