这个素数测试算法的时间复杂度？答案

【问题标题】：Time complexity of this primality testing algorithm?这个素数测试算法的时间复杂度？
【发布时间】：2013-10-29 02:55:30
【问题描述】：

我有以下代码可以确定一个数字是否为素数：

public static boolean isPrime(int n){
    boolean answer = (n>1)? true: false;

    for(int i = 2; i*i <= n; ++i)
    {
        System.out.printf("%d\n", i);
        if(n%i == 0)
        {
            answer = false;
            break;
        }
    }
    return answer;      
}

如何确定该函数的大 O 时间复杂度？在这种情况下输入的大小是多少？

【问题讨论】：

标签： algorithm math complexity-theory big-o primality-test

【解决方案1】：

想想这个函数的最坏情况运行时，如果数字确实是素数，就会发生这种情况。在这种情况下，内部循环将尽可能多地执行。由于循环的每次迭代都会做恒定的工作量，因此完成的总工作量将是 O（循环迭代次数）。

那么会有多少次循环迭代呢？让我们看看循环边界：

for(int i = 2; i*i <= n; ++i)

请注意，只要 i² ≤ n，此循环就会一直执行。因此，循环将在 i ≥ √n + 1 时立即终止。因此，循环将运行 O(√n) 次，因此函数的最坏情况时间复杂度为 O(√n)。

关于您的第二个问题 - 输入的大小是多少？ - 通常，在查看素数测试算法（或其他处理大数的算法）时，输入的大小被定义为写出输入所需的位数。在您的情况下，由于给定了一个数字 n，因此写出 n 所需的位数是 Θ(log n)。这意味着在这种情况下，“多项式时间”类似于 O(log^k n)。您的运行时间 O(√n) 不被视为多项式时间，因为 O(√n) = O((2^{log n})^1/2)，它是指数级的大于写出输入所需的位数。

希望这会有所帮助！

【讨论】：