JavaScript：使用递归检查数字是否为素数

Question

我对如何解决这个问题有点困惑。我需要所有素数才能返回真。如果不返回 false - 我看到我的逻辑包含 2 并且返回 0 所以它自动返回 false，因为 2 的余数为 0。

  

  function isPrime(num, div = 2) {
      // BASE CASE: 
     
      if(num <= div ) return false; // IF num less than OR equal to  2 RETURN false 
      
      // IF num MOD has a remainder of zero   
         
      if(num % 2 === 0) return false  // RETURN false 
      
      return true; // RETURN true
     
      // RECURSIVE CALL:

      return isPrime(num)
    }

    console.log(isPrime(1)); //-> false
    console.log(isPrime(2)); //-> true
    console.log(isPrime(3)); //-> true
    console.log(isPrime(4)); //-> false

Answer 1

不需要递归。只需测试从 3 到数字平方根的所有奇数作为可能的因素，以获得最佳性能。

function isPrime(num){
      if(num === 2) return true;
      if(num < 2 || num % 2 === 0) return false;
      for(let i = 3; i * i <= num; i += 2)
          if(num % i === 0) return false;
      return true;
}

如果你真的需要使用递归，上面的想法可以通过接受一个因子作为第二个参数并在递归时将其递增2来实现。

function isPrime(num, div = 3){
      if(num === 2) return true;
      if(num < 2 || num % 2 === 0)  return false;
      if(div * div > num) return true;
      if(num % div === 0) return false;
      return isPrime(num, div + 2);
}

Answer 2

我是为递归而来的，但Thankyou 已经有了一个很好的答案，说明如何使用一些有用的抽象来递归处理这个问题。

该答案使用了 Sieve of Eratosthenes 的一个版本。我只想指出该筛子的另一种版本，它不那么优雅，但我相信它的性能要好一些。

基本实现是这个生成器函数：

const sieve = function * () {
    const C = {} // known composite numbers
    let q = 2
    while (q < Infinity) {
        if (C [q]) {
            C [q] .forEach (n => C [n + q] = [... (C [n + q] || []), n]  )
            delete C [q]
        } else {
            C [2 * q] = [q]
            yield q
        }
        q += 1
    }
}

筛子要我们划掉给定素数的所有倍数。如果我们从一个固定的数字列表开始，这很好，但在这里我们要处理没有固定上限的值流。相反，在素数的任何倍数处，我们只划掉我们将要命中的下一个倍数。我们使用局部变量C 跟踪这一点，它包含一些关于素数倍数的信息。

假设我们已经达到了11 的测试值。然后我们已经看到了2、3、5 和7 的素数。 2 的下一个倍数是 12； 3 的下一个倍数也是12，5 的下一个倍数是15，7 的下一个倍数是14。此时C 将如下所示：

{
  12: [3, 2],
  14: [7],
  15: [5]
}

因为11 不在此列表中，我们将2 * 11 添加到C，并将其作为我们的下一个素数返回。因此，当我们检查12 时，C 将如下所示：

{
  12: [3, 2],
  14: [7],
  15: [5],
  22: [11]
}

但是现在12 在这个对象上，所以12 不是素数。我们必须做更多的调整。我们将从该列表中删除12，但我们必须将2 和3 值放在它们的下一个倍数上。在12 之后的2 的下一个倍数是14，因此我们将更新14 的值以包含2。在12 之后的3 的下一个值倍数是15，因此我们将更新15 的值以包含3。

现在，当我们点击13 时，C 保持不变

{
  14: [7, 2],
  15: [5, 3],
  22: [11]
}

因为13 不在C 中，我们知道它是素数。我们将yield 并添加26 (2 * 13) 到C，值为13。这将把我们引向源源不断的素数。我们将保持的状态只是到目前为止找到的每个素数的下一个倍数的集合。

敏锐的眼睛可能已经注意到这里正在进行一些额外的工作。将7 的第一个倍数添加到我们的列表中时，我们实际上不需要从14 开始；这将被划掉为2 的倍数。而21 是3 的倍数，28 是4 的倍数（因此是2），35 是5 的倍数，而42 是6 的倍数（因此是2 和3。）我们需要特别检查的第一个倍数是49。通常，当我们添加素数p 时，我们需要检查的第一个倍数是p ** 2。我们可以通过替换这个来解决这个问题：

            C [2 * q] = [q]

用这个：

            C [q * q] = [q]

我们可以这样测试这个函数：

const iterator = sieve()

console.log(iterator.next()) //=> {value: 2, done: false}
console.log(iterator.next()) //=> {value: 3, done: false}
console.log(iterator.next()) //=> {value: 5, done: false}
console.log(iterator.next()) //=> {value: 7, done: false}
console.log(iterator.next()) //=> {value: 11, done: false}
console.log(iterator.next()) //=> {value: 13, done: false}

我们可以编写一个take 函数，如Thankyou 的回答所示。这可能是处理这个问题的最好方法。但我们也可以更改此函数，使其在n 结果之后结束（“找到第一个n 素数”）或当值超过n（“找到直到n 的所有素数”。）

后者是微不足道的：只需添加参数max 并用它替换我们对Infinity 的使用。前者只是稍微困难一些。这是一个版本：

const sieve = function * (count) {
    const C = {} // known composite numbers
    let n = 0
    let q = 2
    while (n < count) {
         if (C [q]) {
            C [q] .forEach (n => C [n + q] = [... (C [n + q] || []), n]  )
            delete C [q]
        } else {
            C [q * q] = [q]
            n += 1
            yield q
        }
        q += 1
    }
};

console .log ([... sieve(1000)])

.as-console-wrapper {max-height: 100% !important; top: 0}

从逻辑上讲，我们的 composites 内部数据结构不会是一个将整数映射到整数数组的对象。显然，最合适的结构是Map 将整数映射到Sets 的整数。我们当然可以这样写：

const sieve = function * (count) {
    const C = new Map () // known composite numbers
    let n = 0
    let q = 2
    while (n < count) {
        if (C .has (q)) {
            [... C .get (q)] .forEach (
              n => C .set (n + q, (C .get (n + q) || new Set ()) .add (n))
            )
            C .delete (q)
        } else {
            C .set (q * q, new Set ([q]))
            n += 1;
            yield q
        }
        q += 1
    }
};

出于某种原因，我发现它的可读性不如它的 Object-Array 对应物。我还没有测试过性能，但如果这明显更快（或更慢）我会感到惊讶。但它的工作方式相同。

这不是我惯用的风格。虽然我们可能可以通过使用递归来避免改变内部结构，但没有想到任何技术。

---

有关此版本的 Sieve 及其相对复杂性的更多信息，请参阅 Melissa E. O'Neill 的精彩 The Genuine Sieve of Eratosthenes。这篇论文是学术性的，但仍然具有很强的可读性。如果你会阅读 Haskell，应该很容易上手。

Answer 3

递归很有趣！让我们看看如何通过想象emptyStream、创建新stream 和filter 流的能力来计算素数-

import { stream, emptyStream, filter } from "./Stream"

const numbers = (n = 0) =>
  stream(n, _ => numbers(n + 1))

const sieve = (t = numbers(2)) =>
  t === emptyStream
    ? t
    : stream
        ( t.value
        , _ =>
            sieve
              ( filter
                  ( t.next
                  , v => v % t.value !== 0
                  )
              )
        )

这种技术被称为埃拉托色尼筛法。使用额外的流函数，我们将 take 前 1,000 个项目并转换结果 toArray -

import { take, toArray } from "./Stream"

const result = 
  toArray(take(sieve(), 1000))
  
console.log(JSON.stringify(result))
// [2,3,5,7,11,13,17,19,23, ... ,7901,7907,7919]

您可以随意实现Stream。这是一种可能的实现方式-

// Stream.js

const emptyStream =
  Symbol('emptyStream')

const stream = (value, next) =>
  ( { value
    , get next ()
      { delete this.next
      ; return this.next = next()
      }
    }
  )

const filter = (t = emptyStream, f = identity) =>
  t === emptyStream
    ? t
: Boolean(f(t.value))
    ? stream
        ( t.value
        , _ => filter(t.next, f)
        )
: filter(t.next, f)

const take = (t = emptyStream, n = 0) =>
  t === emptyStream || n <= 0
    ? emptyStream
    : stream(t.value, _ => take(t.next, n - 1))
    
const toArray = (t = emptyStream) =>
  t === emptyStream
    ? []
    : [ t.value, ...toArray(t.next) ]

export { emptyStream, stream, filter, take, toArray }

---

展开下面的 sn-p 以计算浏览器中的前 1000 个素数 -

// Stream.js
const emptyStream =
  Symbol('emptyStream')

const stream = (value, next) =>
  ( { value
    , get next ()
      { delete this.next
      ; return this.next = next()
      }
    }
  )
  
const filter = (t = emptyStream, f = identity) =>
  t === emptyStream
    ? t
: Boolean(f(t.value))
    ? stream
        ( t.value
        , _ => filter(t.next, f)
        )
: filter(t.next, f)

const take = (t = emptyStream, n = 0) =>
  t === emptyStream || n <= 0
    ? emptyStream
    : stream(t.value, _ => take(t.next, n - 1))
    
const toArray = (t = emptyStream) =>
  t === emptyStream
    ? []
    : [ t.value, ...toArray(t.next) ]

// Main.js
const numbers = (n = 0) =>
  stream(n, _ => numbers(n + 1))

const sieve = (t = numbers(2)) =>
  t === emptyStream
    ? t
    : stream
        ( t.value
        , _ =>
            sieve
              ( filter
                  ( t.next
                  , v => v % t.value !== 0
                  )
              )
        )

const result = 
  toArray(take(sieve(), 1000))
  
document.body.textContent = result.join(", ")

输出

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919

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最后一个程序是否溢出了你的堆栈？没问题，因为我们使用了一个模块，所以我们的流被一个抽象屏障隔开。这允许我们对Stream 进行更改，而不会影响我们的Main 模块。如果需要更大的计算，可以修改违规者以使用 while 循环 -

// Stream.js

const emptyStream = //...

const stream = //...

const take = // ...

function filter (t = emptyStream, f = identity)
{ while (t !== emptyStream)
    if (Boolean(f(t.value)))
      return stream
        ( t.value
        , _ => filter(t.next, f)
        )
    else
      t = t.next      // <-- advance stream t without recursion
  return t
}

function toArray (t = emptyStream)
{ let r = []
  while (t !== emptyStream)
    ( r.push(t.value)
    , t = t.next      // <-- advance stream t without recursion
    )
  return r
}