如何快速计算高维向量之间的距离答案

【问题标题】：how to fast compute distance between high dimension vectors如何快速计算高维向量之间的距离
【发布时间】：2011-02-22 22:15:45
【问题描述】：

假设有三组高维向量：

{a_1, a_2, ..., a_N},

{b_1, b_2, ... , b_N},

{c_1, c_2, ..., c_N}。

我的每个向量都可以表示为：x = a_i + b_j + c_k，其中 1

我的问题是，如果有两个向量：x = (i_1, j_1, k_1), y = (i_2, j_2, k_2)，有没有一种方法可以计算这两个向量的欧几里得距离而无需解码 x 和是的。

【问题讨论】：

对您的符号感到困惑。一个向量的格式是什么？
“不解码”是什么意思？
向量在 R^M 空间中。需要 M 个浮点数来存储一个向量。如果向量编码为 (i, j, k)，则只需要 3 个 int。
解码一个向量就是从3个int值中恢复M个浮点值：(i, j, k) ==> a_i + b_j + c_k。如果我解码向量，那么很容易计算两个向量的距离。
三个组向量 {a_1, a_2, ..., a_N}, {b_1, b_2, ... , b_N}, {c_1, c_2, ..., c_N}。可以视为三个“基本向量”。

标签： algorithm

【解决方案1】：

组件之间差异的平方和的平方根。没有其他办法。

您应该缩放这些值以防止出现上溢/下溢问题。在求平方、求和和取平方根之前，搜索最大差并将所有分量除以它。

【讨论】：

【解决方案2】：

假设您只有两个组。您正在尝试计算标量积

(a_i1 + b_j1, a_i2 + b_j2)
= (a_i1,a_i2) + (b_j1,b_j2) + (a_i1,b_j2) + (a_i2,b_j1) # <- elementary scalar products

因此，如果您知道向量 a_i、b_j、c_k 的元素之间必要的基本标量积，则无需“解码”x 和 y，可以直接计算标量积。

请注意，这正是在非正交基础上计算普通欧几里得距离时发生的情况。

【讨论】：

a_i1, a_i2 ... 都是向量。所以我认为你的结果是（i1，j1，k1）和（i2，j2，k2）之间距离的上限
我明白了。我认为您可以编辑您的问题以使其更清楚。
您应该使用一般张量关系来计算非欧几里得坐标系中的距离。
我明白了...谢谢。另一个问题，如果y被编码为(a_i, b_j, c_k)，而x没有被编码，那么标量积：(x, a_i + b_j + c_k) = (x, a_i) + (x, b_j) + ( x, c_k)。我说的对吗？

【解决方案3】：

如果您对近似结果感到满意，您可以使用 random projection 将高维基向量投影到小维空间中。 Johnson-Lindenstrauss lemma 说你可以将你的维度减少到 O(log N)，这样距离很有可能保持大致相同。

【讨论】：