在二维空间中，给定一堆矩形，每个矩形覆盖多个点，并且两个任意矩形之间可能存在重叠，对于指定的数字 K，我如何找到 k 个矩形，使得它们的并集覆盖最大点数？ 在这个问题中，如果一个点被两个以上的矩形覆盖，它只计算一次，我们假设矩形的位置和大小以及点的位置在输入中是固定的。
谁能给我用来解决它的算法？或者指出可以归结为某个已知问题？
【问题讨论】：
标签： algorithm data-structures graph computer-science
这看起来像是Maximum Coverage Problem 的几何版本，与Set Cover Problem 密切相关，并且这两个是NP-Complete。
据我所知，Set Cover 的 Geometric 版本似乎也是 NP-Complete 并且这里的论文有一个快速逼近算法，它利用了它是几何的事实：http://www.almaden.ibm.com/u/kclarkson/set_cover/p.pdf。 Set Cover 的几何版本是 NP 完全的，这意味着最大覆盖问题的几何版本也是 NP 完全的。
当然，集合是矩形的特殊情况可能仍然适用于精确的多项式时间算法，但我对此表示怀疑。也许上述论文中的参考资料可能会引导您找到一个好的解决方案。
希望有帮助！
【讨论】：
我认为您需要可以选择值/节点（例如这里的矩形）的组合优化算法，以便给定函数给出最大值。我不知道详细，但您可以尝试在 MATLAB 中进行优化
【讨论】：
如果你有 n 个矩形，k 个你必须选择，那么就有(choose n k) 不同的组合，即(/ (factorial n) (factorial k) (factorial (- n k)))。在一般情况下，我怀疑您必须枚举这些组合并计算它们的覆盖范围。但是，您可以通过按覆盖范围（即它们自己覆盖的点数）对矩形进行排序，从最大矩形的组合开始，并在剩余的矩形不能超过您之前的最佳组合时停止，从而缩短这一点。
【讨论】：
我假设您有固定的矩形（即，您无法选择矩形的大小以及它们的位置）。如果您可以选择矩形的大小，那么问题将是微不足道的。如果您可以选择放置矩形的位置，这也是一个不同的问题（由另一个贪心算法解决）。
有关更多详细信息，您需要告诉我们您的矩形和点是如何指定的，以及它们是如何存储的——或者根据您的输入格式，您是否需要帮助选择一个好的数据结构。
现在，贪婪 解决您的问题的方法如下。最初从所有“选择”的矩形作为覆盖点开始。然后，一个接一个地删除覆盖点最少的矩形，直到你的集合中只有 K 个矩形。该算法的复杂性是多项式的，其效率取决于您将如何实现“找出哪个矩形覆盖最少点”的查询。使用堆，您可以在 O(1) 中完成此操作，并通过预处理阶段来构建堆（其复杂性将取决于您的点的存储方式）。
编辑 ：这个解决方案的问题在于，在每一步，“将使它，所以我发现的点最少”的答案不是唯一的，几个矩形可以，在那步骤，填写准则；最终，可能会证明一个选择会比另一个更好，而这在那个步骤中是无法确定的......
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例如，这里所有的矩形都是绑定的：如果你删除任何一个矩形，你就不会发现任何点。但是很明显，最好的 1 解决方案是让矩形 2 覆盖这些点（请注意，矩形 1 和 3 可以任意宽，因此大小不是一个重要因素）。
【讨论】：