找到最可靠的路径 - Dijkstra 算法 [关闭]

Question

给定一个有向图 G = (V, E)，其中每条边 (u, v) ∈ E 都有一个关联 值 r(u, v)，它是 0 ≤ r(u, v) ≤ 1 范围内的实数，表示从顶点 u 到顶点 v 的通信通道的可靠性。我们将 r(u, v) 解释为这 从 u 到的通道不会失败的概率，我们假设这些概率 是独立的。给出一个有效的算法来找到两个给定之间最可靠的路径 顶点。

     a
    / \
   b<--c         a directed to c; c directed to b; b directed to a 

假设这是图 G = (V, E);顶点a是根，边之一是a到c。 a = u & c = v 所以边是 (u, v)。我想使用 Dijkstra 的算法来解决这个问题，但不知道如何。

     a
      \
   b<--c          path c: a -> c   &    b: a -> c -> b

有人能以最简单的方式解释最可靠的路径吗？

这个问题来自Introduction to Algorithms, 3rd edition, chp 24.3

提前致谢！

Answer 1

我们将 r(u, v) 解释为从 u 到 不会失败，我们假设这些概率是独立的。

由此可以推断，给定路径不会失败的概率等于构成路径的所有边 (u,v) 的 r(u,v) 的乘积。

您想最大化该产品。

这与最短路径问题完全一样，您肯定知道算法，但您不是要最小化总和，而是要最大化乘积。

有一个很酷的工具可以从乘积到求和：它是对数。对数是一个递增函数，因此最大化一个乘积与最大化该乘积的对数相同。但是对数还有一个很酷的特性，即乘积的对数等于对数之和：

log(a * b * c * d * ...) = log(a) + log(b) + log(c) + log(d) + ...

因此，最大化可靠性的乘积 r(u,v) 与最大化对数可靠性的总和 log(r(u,v)) 相同。

由于可靠性是边的概率，它们的值介于 0（不包括）和 1（包括）之间。您可以排除 0，因为如果一条边的可靠性为 0，您可以从图中删除该边。由于0 < r(u,v) <= 1，因此log(r(u,v)) 为负数或0。

所以你试图最大化负值的总和。这与最小化相反值的总和完全相同。

因此：应用您的最短路径算法，使用 -log(r(u,v)) 作为边的长度。