你会称这种算法的时间复杂度是多少？答案

【问题标题】：What would you call the time complexity of an algorithm of this sort?你会称这种算法的时间复杂度是多少？
【发布时间】：2017-02-11 08:17:29
【问题描述】：

我使用的是 C# 语法，但这个问题不仅仅针对 C#。

示例 1

public static long Do(long n)
{
    var sqrt = (long)Math.Sqrt(n);

    for(long i = 0; i < sqrt; i++)
        // do something

    return result;
}

这仍然是线性时间，即使在最坏的情况下，我们也只对n 的平方根时间进行运算，这只是@987654324 的一小部分@?

示例 2

您如何对下面算法的时间复杂度进行分类？

public static long Do(long n)
{
    while (n > 1)
    {
        n = (long)Math.Sqrt(n);

        // do something
    }

    return result;
}

在最坏的情况下，这是否会被称为在 对数时间 内完成的操作，即使我们再次将每次迭代次数减半，而是将它们减少了一个数量级幅度超过一半。

【问题讨论】：

如果你在做 sqrt(n) 操作，那将是 O(sqrt(n)) 复杂度，为什么是线性的？
第一个是O(n^(1/2))。第二个有点棘手。
O(sqrt(n)) 有术语吗？
O(sqrt(n)) 是 O(sqrt(n)) 的“术语”......不知道还有什么。此外，在此示例中，请注意“输入大小”。因为你实际上没有 n 个元素，而是一个整数 n，所以时间复杂度通常以输入整数的大小（以位为单位）给出（因为图灵机）。将输入大小增加一位会使 n 加倍，使其花费 sqrt(2) 更多时间——因此按照这种方法，这将是指数级的，或者 O(sqrt(2) ^ n)（这个“n”与您的变量 n) 不同
在维基百科 (en.wikipedia.org/wiki/Time_complexity) 中它被命名为“分数幂”

标签： c# algorithm time-complexity big-o computer-science

【解决方案1】：

第一个代码 sn-p 只包含一个循环和该循环之外的恒定数量的操作。如果此循环迭代k 次而每次迭代花费t 时间，则其复杂度为O(kt)。这里，k 等于 sqrt(n)，这意味着如果循环不包含非常量时间操作（例如，如果它不包含嵌套循环或循环函数等），那么这个 sn-p 时间复杂度是相等的到O(sqrt(n))，也写成O(√n)。

这里有一个循环这一事实并不意味着任何复杂性。例如，下面的代码，有两个嵌套循环，具有线性复杂度：

int j = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
    for (; j < n; ++j)
    {
        // A loop with constant-time operations and eventual breaks
    }
}

在本例中，i 从0 变为n，因此我们将O(n) 时间用于增加i。类似地，j 从0 变为n，我们对O(n) 增量进行j 变量以及内部循环体的O(n) 迭代。由于我们在这段代码中没有其他操作，所以总复杂度为O(n) + O(n) + O(n) = O(n)。

为了处理第二个例子，我用递归的方式重写了它：

int Do(int n)
{
    // Do something with constant-time compexity
    return n > 1 ? Do(sqrt(n)) : result;
}

让我们将此示例的时间复杂度称为T(n)。我们可以看到T(n) = 1 + T(sqrt(n))，其中该函数第一部分的计算时间（为常数）以时间为单位。求解这个递归方程给我们T(n) = log log n（这里的对数是二进制的）。确实，1 + log log(sqrt(n)) = 1 + log ((log n) / 2) = 1 + log log n - 1 = log log n。对于渐近表达式，使用哪个对数底并不重要，因为 log_a x = log_a b * log_b x = O(log_b x)，这就是为什么通常省略对数底的原因。

因此，复杂性是：O(√n) 和 O(log log n)。

UP：要不严格地估计您的复杂性，可以使用 Excel 或任何其他软件工具进行计算。您只需为n 的不同值构建一个操作数表，并尝试猜测复杂性规则。例如，对于问题中的代码 sn-p #2：

N 操作日志 n 日志日志 n 1 1 0 - 2 2 1 0 4 3 2 1 16 4 4 2 256 5 8 3 65536 6 16 4

正确答案通常从表格中显而易见

【讨论】：

【解决方案2】：

复杂性是根据问题实例的编码长度来衡量的。
两个sn-ps中的问题完全由参数n描述，所以一个实例是一个字符串，它编码了n。我们可以使用任何非退化编码，文献中的一个常见选择是在任何数字位置系统中编写n。
例如，如果 n 是 13，我们可以使用“13”或“1101”或“15”或“D”作为。

那么很容易看出的长度，这里记为|n|，是log(n) .
不完全是 log(n)，我们需要知道底数才能给出准确的长度，但是我们不需要准确的长度函数 L( n) 给定 n 准确地返回 |n|，我们只是一个 O(L(n)) ，因为我们将使用无论如何，大 O 符号。
我们可以通过乘以一个常数将基数更改为任何对数，因此使用 L(n) = log(n) 就可以了。
但是，如果我们在 |n| 的函数中表达 n 时使用不指定基数，我们只能说 n = 2^O(|n|) 会使公式过于拥挤。
由于我们通过指定一个基数并没有失去一般性，我们可以选择基数二，因此 |n| = log₂(n) 和 n = 2^|n| 在限制中（如 n 增长）。

如果以上内容对您来说是新的，您可以参考任何关于复杂性理论的介绍性书籍。

片段 1

为了保持分析非常简单，我们假设每次迭代都需要恒定的时间。
那么总次数就是迭代次数，即n^1/2。
由于 n^1/2 = 2^|n|/2 我们有时间复杂度是

2^O(|n|)，指数

片段 2

在迭代 k 时，n 的原始值已减少到 n^1/(2k) .然后我们想找到 k 使得

n^{1/2^k} ≤ 1

这样循环就结束了。
但是对于 k 的任何有限值，永远无法满足该条件（证明这一点作为练习）。
然而，部分结果被转换为整数，无需恢复到 floor 函数，我们可以只要求 n^{1/2^k} ≤ 2 因为一次n^{1/2^k} 是 2，在下一次迭代中它将被强制转换为 1。

n^{1/2^k} ≤ 2 => n ≤ 2^{2^k} => log₂(log₂(n)) ≤ k

因为 log₂(n) 是 log₂(2^|n|) = |n| 时间复杂度为

O(log₂(|n|)), 对数

可以做出更强有力的陈述，就大问题而言，但这留给读者。

【讨论】：

【解决方案3】：

线性时间： 表示对于大小为 n 的输入，时间复杂度将与 n 本身成正比。换句话说，大小为 n = k * n 的问题的时间复杂度（猜猜二次时间是什么意思？对于大小为 n 的输入, 运行时间与 n²... 的时间复杂度成正比 = c * n²)

对于您的第一个 sn-p，对于大小为 n 的输入，运行时间将与 sqrt(n) 成正比。因此运行时间可以写成 * sqrt(n)，它与 k * n 的函数不同。用来描述这种比例性的词只是平方根关系。
对于您的第二个 sn-p，您继续取 n 的平方根，直到它减少到 1。其递归可写为：
- T(n)= T(sqrt(n)) + 1
- 要解决这种重复，请取 n = 2^2ⁱ。现在，i 实际上将是代码 sn-p 将运行的次数，导致 n 或 Log(Log(n)) 作为运行时间的双 log对于这个 sn-p。

^{为了解决你的第二次sn-p，我居然问了this question on Math SE。}

【讨论】：

【解决方案4】：

第一个 sn-p 的复杂度为O(sqrt(n))。

第二个 sn-p 的复杂度为O(log(log(n))。只需要一点 10 年级的代数就可以解出方程 n^1/(2^i) < 2 为 i，这是第二个 sn-p 的复杂度。

【讨论】：