有谁知道这是否是多项式可解的？

Question

您好，我正在处理以下问题。

给定一个大小为 M x N 且系数为正的矩阵。目标是选择 P 列，以使生成的 M x P 矩阵的每一行中所有元素的最大总和最小化。例如，如果 M = 3，N = 5，P = 2，矩阵由下式给出

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ a₁₅
a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ a₂₅
a₃₁ a₃₂ a₃₃`a₃₄ a₃₅

而最优解是选择`第2列和第4列，得到的矩阵由下式给出

a₁₂a₁₄
一个₂₂一个₂₄
一个₃₂一个₃₄

和最大值{a₁₂ + a₁₄, a₂₂ + a₂₄, a32 + a₃₄} 在 P 列的所有选择中是最小的。

由于有 (N over P) 个解决方案，因此可以实现一种简单的指数算法来解决这个问题，但是有没有更快的多项式时间解决方案来解决这个问题？

或者，如果没有，任何人都可以肯定地证明这是一个 NP-hard 问题吗？你知道任何类似的 NP-hard 问题可以简化为这个问题吗？

Answer 1

我相信这是 NP-hard 因为如果你能解决你的问题，那么你就可以解决minimum vertex cover。

证明草图

方法是定义一个矩阵，每个顶点有一列，每条边有一行。

在第 j 行，对应顶点 x 和 y 之间的一条边，将每个元素置为 0，除了在 x 和 y 列放置一个 1。

如果我们可以选择 P 列，使得行和的最大值

（行总和

通过使用二分法，我们可以计算出最大的 P ，从而推导出最小顶点覆盖的大小。