这是一个线性规划问题吗？答案

【问题标题】：Is this a linear programming problem?这是一个线性规划问题吗？
【发布时间】：2011-10-06 14:40:25
【问题描述】：

我一直在努力解决一个问题...整个问题很复杂...但让我尽力解释真正重要的部分...

我有一个图表，其中每条边代表连接的两个节点之间的相关性。每个节点都是一个时间过程 (TC)（即 400 个时间点），其中事件将在不同的时间点发生。两个节点之间的相关性定义为重叠事件的百分比。为简单起见，让我们假设每个节点上发生的事件总数与 $tn$ 相同。如果两个 TC（节点）有 $on$ 重叠事件（即发生在完全相同时间点的事件）。那么，相关性可以简单地定义为$on$/$tn$。

现在，我有一个由 11 个节点组成的网络；我知道每两个节点之间的相关性。如何为所有11个满足相关约束的节点生成TC？？？

当您知道两个节点之间的相关性时，很容易对两个节点执行此操作。假设 TC_1 和 TC_2 的相关值为 0.6，这意味着两个 TC 中有 60% 的重叠事件。此外，假设 TC_1 和 TC_2 的事件总数与 $tn$ 相同。将事件放置在两个 TC 中的一个简单算法是首先随机选择 0.6*$tn$ 个时间点，并将这些时间点视为两个 TC 中发生重叠事件的时间段。接下来，在 TC_1 中随机选择 (1-0.6)*$tn$ 时间点，以放置 TC_1 的其余事件。最后，随机选取TC_2中的(1-0.6)*$tn$个时间点，TC_1对应的时间点没有发生任何事件。

但是，当您考虑一个 3 节点网络时，它开始变得越来越难，其中生成的三个 TC 需要满足所有三个相关约束（即 3 个边）...对于 11 -节点网络...

这对你有意义吗？如果不是请告诉我...

我在想这只是一个诡计的计算机科学编程问题......但我越想它更像是一个线性编程问题，不是吗？

谁有合理的解决方案？我在 R 中这样做，但任何代码都可以...

【问题讨论】：

你只是想获得一个可行的发行版，对吧？
你有关于你的图结构的任何额外信息吗？是否完整，是否有循环等...？
是的，只是想得到每个TC中分布的事件以满足整体相关性约束。没有关于图表的额外信息...

标签： algorithm linear-programming np-hard

【解决方案1】：

我认为有一种简单的线性规划方法。将解决方案表示为矩阵，其中每一列是一个节点，每一行是一个事件。单元格为 0 或 1，表示事件与给定节点关联或不关联。然后，您的相关约束是固定一对列中 11 的数量的约束，相对于每列中 1 的数量，实际上您已经提前修复了。

给定这个框架，如果您将每个可能的行视为一个特定的项目，出现 X_i 次，那么您将具有 SUM_i X_i * P_ij = K_j 形式的约束，其中 P_ij 为 0 或 1，具体取决于可能的行 i 是否具有11 在由 j 计数的列对中。当然，这对于大量节点来说有点灾难，但是 11 个节点有 2048 行可能，这并非完全无法管理。 X_i 可能不是线性的，但我想它们应该是合理的，所以如果你准备好使用惊人数量的行/事件，你应该没问题。

不幸的是，您可能还必须尝试不同的总列数，因为存在不等式。如果有 N 行且两列中有 m 和 n 1，则该列对中必须至少有 m + n - N 11。实际上，您也可以将每列中的常见 1 数作为解决方案变量 - 这将为您提供一组新的约束，其中 Q_ij 为 0 和一个取决于列 i 列中是否有 1 j.

可能会有更好的答案潜伏在那里。特别是，为特定相关性生成正态分布的随机变量很容易（如果可行）-http://en.wikipedia.org/wiki/Cholesky_decomposition#Monte_Carlo_simulation 和（根据 Google R mvrnorm）。考虑一个具有 2^N 行和 2^N-1 列的矩阵，其中填充了 +/-1 的条目。用 N 位的所有组合标记行，用 N 位的所有非零列标记列。用-1^（行标签和列标签的奇偶校验）填充每个单元格。每列都有相同数量的 +1 和 -1 条目。如果您将两列逐个元素地合并在一起，您将得到一个不同的列，该列具有相同数量的 +1 和 -1 条目 - 因此它们相互不相关。如果您的 Cholesky 分解为您提供了元素在 [-1, 1] 范围内的矩阵，您可以使用它来组合列，您可以根据特定的概率。

这也表明，您可能会通过原始线性规划方法（例如 15 列）而不是从所有可能性的 2^15 不同行中进行选择，而是从具有相同可能性的 16 个不同行中进行选择。如上所述，将模式作为具有 2^4 行和 2^4-1 列的矩阵。

【讨论】：

矩阵表示似乎是解决编程部分问题的一种方法。
我对你的 SUM_i X_i * P_ij = K_j 的概念不是很清楚...一件事是让我们把它简单化，这样所有列中的每个列都有相同的 1 总数...（m == n）...维基链接似乎很有帮助...我会更仔细地看看！谢谢！
考虑任何一对列，例如第 3 列和第 13 列。我将 j 值指定给这对列。每个可能的行要么在这两个列中都有 1（重叠事件，这是你关心的），要么有一些其他不计算在内的二位。第 i 行是否有重叠事件是 P_ij。因此，我们可以通过将每种类型的行 X_i 的数量乘以这些列 P_ij 的双位计数来计算特定列对中重叠事件的数量。

【解决方案2】：

如果存在解决方案（您可能会遇到没有解决方案的问题），您可以将其表示为线性方程组。

 x1/x2 = b => 
 x1 - b*x2 = 0
 or just
 a*x1 + b*x2 = 0

您应该能够将其转换为求解线性方程组或更准确地说是齐次线性方程组，因为 Ax=b 中的 b 等于 0。

问题是，由于您有 n 个节点和 n*(n-1)/2 个关系（方程），因此您有很多关系，并且没有解决方案。

您可以将这个问题表示为

在 x > 0 和 x.x == konstant 时最小化 Ax

【讨论】：

谢谢！这看起来很好作为这个问题的正式数学表示......我会研究它。

【解决方案3】：

您可以将其表示为混合整数程序。

假设我们有N 个节点，并且每个节点有T 个总时隙。您想找到这些时间段的事件分配。每个节点都有tn <= T 事件。您的图表中有M 总边。在任何一对共享边的节点 i 和 j 之间，你有一个系数

c_ij = overlap_ij/tn

其中overlap_ij 是重叠事件的数量。

让x[i,t] 是定义为的二进制变量

 x[i,t] = { 1 if an event occurs at time t in node i
        = { 0 otherwise.

那么tn事件发生在节点i的约束可以写成：

sum_{t=1}^T  x[i,t] == tn

让e[i,j,t] 是定义为的二进制变量

 e[i,j,t] = { 1 if node i and node j share an event a time t
          = { 0 otherwise

让N(i) 表示节点i 的邻居。然后我们每次都有t

  sum_{j in N(i)}  e[i,j,t] <= x[i,t]

这表示如果节点i 的邻居在时间t 发生共享事件，那么节点i 必须在时间t 发生事件。此外，如果 nodei 有两个邻居u 和v，我们不能有e[i,u,t] + e[i,v,t] > 1（这意味着两个事件将共享同一个时隙），因为所有邻居的总和小于@987654349 @。

我们也知道节点i和节点j之间一定存在overlap_ij = tn*c_ij重叠事件。这意味着我们有

  sum_{t=1}^T e[i,j,t] == overlap_ij

将所有这些放在一起，您将获得以下 MIP

  minimize  0 
    e, x
  subject to     sum_{t=1}^T x[i,t] == tn, for all nodes i=1,...,N
                 sum_{j in N(i)} e[i,j,t] <= x[i,t],
                       for all nodes i=1,...,N and all time t=1,...,T
                 sum_{t=1}^T e[i,j,t] == overlap_ij for all edges (i,j) 
                                                      between nodes
                 x[i,t] binary for i=1,...,N and t=1,...,T
                 e[i,j,t] binary for all edges (i,j) and t=1,...,T

这里的目标为零，因为您的模型是一个纯粹的可行性问题。该模型共有T*N + M*T变量和N + N*T + M约束。

像Gurobi 这样的 MIP 求解器可以解决上述问题，或者证明它是不可行的（即不存在解决方案）。 Gurobi 有一个到 R 的接口。

您可以通过查看解向量x[i,1], x[i,2], ..., x[i,T] 来提取ith 节点的最终事件时间序列。

【讨论】：