抛物线背包答案

【问题标题】：Parabolic knapsack抛物线背包
【发布时间】：2011-07-02 08:56:15
【问题描述】：

假设我有一条抛物线。现在我也有一堆相同宽度的棍子（是的，我的绘画技巧很棒！）。我怎样才能将这些棒堆叠在抛物线内，以便尽可能减少它使用的空间？我相信这属于Knapsack problems 的类别，但是这个维基百科页面似乎并没有让我更接近现实世界的解决方案。这是一个NP-Hard问题吗？

在这个问题中，我们试图最小化消耗的面积（例如：积分），其中包括垂直面积。

【问题讨论】：

更适合 mathoverflow.net？
木棍可以折断吗？因为如果不是，“最小化空间”的要求不是取决于最大的棍子吗？最大的棍子和下一根棍子之间可能有很大的差距。一个有趣的问题
Rook-这个问题不可能是 NP 完全的，因为它不是一个决策问题。对于一个问题是 NP 完全的，它必须在 NP 中，这是决策问题（它们都有是/否的答案）。但是，它可能是 NP-hard，这意味着它至少与 NP 中的任何问题一样难。您可以将其表述为一个决策问题“给定长度和一些抛物线，您最多可以将它们的高度拟合为 h 吗？”使其成为候选 NP 完全问题。
@templatetypedef：虽然在技术上是正确的，但在复杂性理论中，推断优化问题与其相关的自然决策问题之间的等价性是常见的约定。即，对于每个旨在最小化 f(x) 的优化问题，其自然决策问题被表述为“对于给定的 K，是否存在一些 x 使得 f(x)
cmets 中的“Is this NP-hard”子线程可能属于 math.se。问题本身可能同样适合那里或这里。

标签： algorithm np-hard

【解决方案1】：

向那些提到级别可能处于不同高度这一事实的人提供支持（例如：假设棒是 1 个“厚”级别 1 从 0.1 个单位变为 1.1 个单位，或者它可以从 0.2 个单位变为 1.2 个单位）

您当然可以扩展“多箱包装”方法并测试任意小的增量。（例如：运行多重装箱方法，级别从 0.0、0.1、0.2、... 0.9 开始），然后选择最佳结果，但除非您有一些方法，否则您似乎会在无限时间内卡住计算验证您是否“正确”（或更准确地说，您的所有“行”对于它们包含的内容都是正确的，此时您可以将它们向下移动，直到它们遇到抛物线的边缘）

此外，OP 并没有具体说明必须水平放置木棍 - 尽管 OP 可能用那些甜蜜的图画暗示了这一点。

我不知道如何以最佳方式解决此类问题，但我敢打赌，在某些情况下，您可以随机放置棍子，然后测试它们是否在抛物线“内部”，它会击败任何依赖的方法仅在水平行上。（考虑我们试图用一根长棍子填充的窄抛物线的情况。）

我说把它们都扔进去然后摇晃它们；）

【讨论】：

【解决方案2】：

我很确定它相当于装箱：

非正式还原

将最宽行的宽度设为 x，将 bin 设置为 2x 大，并为每一行创建一个占位符元素，该元素是 2x-rowWidth 大。所以两个占位符元素不能被打包到一个 bin 中。

要减少抛物线背包上的装箱，您只需为所有大于所需 binsize 且大小为 width-binsize 的行创建占位符元素。此外，为小于填充整行的 binsize 的所有行添加占位符。

这显然意味着你的问题是 NP-hard。

其他想法请看这里：http://en.wikipedia.org/wiki/Cutting_stock_problem

【讨论】：

【解决方案3】：

这很可能是 1-0 背包或装箱问题。这是一个 NP 难题，很可能这个问题我不理解，也无法向您解释，但您可以使用贪心算法进行优化。这是一篇关于它的有用文章http://www.developerfusion.com/article/5540/bin-packing，我用它在 phpclasses.org 上制作我的 php 类 bin-packing。

【讨论】：

【解决方案4】：

我使用 processing.js 和 HTML5 画布在 JavaScript 中编写了一个解决方案。

如果您想创建自己的解决方案，这个项目应该是一个很好的起点。我添加了两种算法。一种将输入块从最大到最小排序，另一种随机打乱列表。然后尝试将每个项目从底部（最小的桶）开始放入桶中并向上移动，直到它有足够的空间容纳。

根据输入的类型，排序算法可以在 O(n^2) 内给出良好的结果。这是排序输出的示例。

这是按顺序插入的算法。

function solve(buckets, input) {
  var buckets_length = buckets.length,
      results = [];

  for (var b = 0; b < buckets_length; b++) {
    results[b] = [];
  }

  input.sort(function(a, b) {return b - a});

  input.forEach(function(blockSize) {
    var b = buckets_length - 1;
    while (b > 0) {
      if (blockSize <= buckets[b]) {
        results[b].push(blockSize);
        buckets[b] -= blockSize;
        break;
      }
      b--;
    }
  });

  return results;
}

github上的项目-https://github.com/gradbot/Parabolic-Knapsack

这是一个公共回购，所以请随意分支和添加其他算法。我以后可能会添加更多，因为这是一个有趣的问题。

【讨论】：

这个 First Fit Decreasing 算法可能远非最佳。 See how First Fit Decreasing can go wrong (left side). 但是这是一个非常好的起点，而且速度非常快。如果你需要更多（你可能不需要），特别是如果你想避免人类看到它并看看如果你切换这两个它会更好，获取该算法的结果并抛出元启发式方法：那将批准。

【解决方案5】：

简化

首先我想简化问题，这样做：

我切换轴并将它们相互添加，这导致 x2 增长
我假设它是闭区间上的抛物线[a, b], where a = 0，对于这个例子b = 3

假设您得到b（区间的第二部分）和w（段的宽度），那么您可以通过n=Floor[b/w] 找到段的总数。在这种情况下，存在最大化黎曼和和函数以获得第 i 个段高度的简单情况是：f(b-(b*i)/(n+1)))。实际上这是一个假设，我不能 100% 确定。

17 闭区间 [0, 3] 函数 Sqrt[x] 实际值的最大示例：

本例中的段heights函数为Re[Sqrt[3-3*Range[1,17]/18]]，取值为：

确切形式：

{Sqrt[17/6], 2 Sqrt[2/3], Sqrt[5/2], 平方[7/3]、平方[13/6]、平方[2]、平方[11/6]、平方[5/3]、平方[3/2]、 2/Sqrt[3], Sqrt[7/6], 1, Sqrt[5/6], 平方[2/3]、1/平方[2]、1/平方[3]、 1/Sqrt[6]}

近似形式：

{1.6832508230603465, 1.632993161855452，1.5811388300841898，1.5275252316519468，1.4719601443879744，1.4142135623730951，1.35400640077266，1.2909944487358056，1.224744871391589，1.1547005383792517，1.0801234497346435，1，0.9128709291752769，0.816496580927726，0.7071067811865475，0.5773502691896258，0.4082482904638631} P>

您归档的是一个装箱问题，其中部分装满。

寻找b

如果b 是未知的，或者我们的任务是找到最小可能的b，在所有的棍子形成最初的组合。然后我们可以将至少b 的值限制为：

下限：如果段高度之和 = 棒高度之和
上限：~~分段数 = 棒数~~ 最长棒

查找b 的最简单方法之一是在(higher limit-lower limit)/2 处进行转轴查找是否存在解决方案。然后它变成新的上限或下限，您重复该过程，直到满足所需的精度。

当您在寻找b 时，您不需要精确的结果，但不是最理想的，如果您使用有效的算法找到与实际b 相对接近的枢轴点会更快。

例如：

按长度排序棍子：从大到小
开始“将最大的物品”放入适合您的第一个箱子中

【讨论】：

你的上限大错特错（拿一根比最低箱子长的棍子）
@Ben Voigt：你是对的，这是一个粗心的错误。 Ty，花时间指出这一点。
最坏的情况，我认为你需要将这两个加在一起（例如 4 根长 100 根，最佳解决方案是占用第 10、11、12、13 行）
这似乎是解决方案的“程序员”版本。现在我读了你的帖子，我看到了相似之处。但是由于您的帖子没有表明这个问题不在 P 中（这只会浪费时间寻找更好的解决方案）读者可能会对我的答案中或多或少的非正式双向减少感兴趣（我承认需要一些复杂性理论背景来掌握）

【解决方案6】：

如何在抛物线内堆叠这些棒，以便尽可能减少它使用的（垂直）空间？

只需像处理任何其他装箱问题一样处理它。我会对其进行元启发式（例如禁忌搜索，模拟退火，...），因为这些算法不是问题具体的。

例如，如果我从Drools Planner 中的Cloud Balance problem（= Bin Packing 的一种形式）开始。如果所有的棍子都具有相同的高度，并且 2 根棍子之间没有垂直空间，那么我不需要改变太多：

将Computer 重命名为ParabolicRow。删除它的属性（cpu、内存、带宽）。给它一个唯一的level（其中 0 是最低行）。创建多个ParabolicRows。
将Process 重命名为Stick
将ProcessAssignement 重命名为StickAssignment
重写硬约束，以便检查是否有足够的空间容纳分配给ParabolicRow 的所有Sticks 的总和。
重写软约束以最小化所有ParabolicRows 中最高的level。

【讨论】：

有趣，但我不知道这与算法分析有何关系。
它不需要与算法分析相关 - 它演示了如何使用概率方法来解决 NP 难题。

【解决方案7】：

这相当于有多个背包（假设这些块的“高度”相同，这意味着每个“行”都有一个背包），因此是装箱问题的一个实例。

见http://en.wikipedia.org/wiki/Bin_packing

【讨论】：

我认为这是 1/2 的问题。您如何在最少的垃圾箱中做到这一点？
@spintheblack- 您的还原方向错误。你已经证明你可以把它变成装箱，但这只是说装箱至少和这个问题一样难。你需要展示相反的方向——任何装箱实例都可以转化为这个问题的一个实例——以表明这个问题至少与 NP 难装箱问题一样难。
视情况而定 - 您是否要尽量减少垂直空间？如果不是，那么我认为任何包装都将具有等量的空间。
@spintheblack：装箱不是这个问题的特例（以任何明显的方式）。经典 bin-packing 中的 bin 大小都相同，而这里的 bin 大小是可变的。此外，如果我们将经典的装箱问题扩展到包括可变大小的箱，我们仍然会遇到这个问题中的箱大小被限制为特定形式的问题。
@mhum - 你写的是我正在经历的，所以也许我错过了一些东西。如果您同意装箱问题是有序装箱的多尺寸装箱问题的特例（装箱 x_1