我是否使用 C# 动态实现了 Y-combinator，如果没有，它是什么？

Question

我的大脑似乎处于自虐状态，所以在被this、this 和this 淹没后，它想在C# 中进行一些DIY。

我想出了以下内容，我不认为是 Y 组合子，但它确实似乎设法使非递归函数递归, 不引用自身：

Func<Func<dynamic, dynamic>, Func<dynamic, dynamic>> Y = x => x(x);

所以给出这些：

Func<dynamic, Func<dynamic, dynamic>> fact = 
                  self => n => n == 0 ? 1 : n * self(self)(n - 1);
Func<dynamic, Func<dynamic, dynamic>> fib = 
                  self => n => n < 2 ? n : self(self)(n-1) + self(self)(n-2);

我们可以生成这些：

Func<dynamic, dynamic> Fact = Y(fact);
Func<dynamic, dynamic> Fib = Y(fib);

Enumerable.Range(0, 10)
          .ToList()
          .ForEach(i => Console.WriteLine("Fact({0})={1}", i, Fact(i)));

Enumerable.Range(0, 10)
          .ToList()
          .ForEach(i => Console.WriteLine("Fib({0})={1}", i, Fib(i)));

Answer 1

不，那不是 Y 组合子；你只完成了一半。您仍然需要在应用它的“种子”功能中排除自我应用。也就是说，而不是这个：

Func<dynamic, Func<dynamic, dynamic>> fact = 
                  self => n => n == 0 ? 1 : n * self(self)(n - 1);

你应该有这个：

Func<dynamic, Func<dynamic, dynamic>> fact = 
                  self => n => n == 0 ? 1 : n * self(n - 1);

注意第二个定义中出现的self 与第一个定义中出现的两次相反。

（编辑添加：）顺便说一句，由于您使用 C# 模拟 lambda 演算和按值调用评估，因此您想要的定点组合器是 the one often called Z, not Y

（再次编辑以详细说明：）描述Y 的等式是这样的（推导参见the wikipedia page）：

Y g = g (Y g)

但在大多数实用的编程语言中，您会在调用函数之前评估函数的参数。在编程语言社区中，这称为按值调用评估（不要与 C/C++/Fortran/etc 程序员区分“按值调用”与“按引用调用”与“按复制恢复调用”的方式相混淆等）。

但如果我们这样做，我们会得到

Y g = g (Y g) = g (g (Y g)) = g (g (g (Y g))) = ...

也就是说，我们将所有的时间都花在构造递归函数上，而永远应用它。

另一方面，在按名称调用评估中，您将函数（此处为 g）应用于未评估的参数表达式（此处为 (Y g)）。但是如果g 就像fact 一样，它会在执行任何操作之前等待另一个参数。因此，我们将等待g 的第二个参数，然后再尝试进一步评估(Y g)——并且取决于函数的作用（即，如果它有一个基本情况），我们可能不需要评估(Y g)一点也不。这就是为什么Y 可用于名称调用评估。

按值调用的解决方法是改变等式。我们想要的不是Y g = g (Y g)，而是下面的等式：

Z g = g (λx. (Z g) x)

（我想我的方程是正确的，或者接近正确的。你可以计算一下，看看它是否符合Z的定义。）

考虑这一点的一种方法是，我们不计算“整个递归函数”并将其交给g，而是将其递给一个函数，该函数将一次计算一点递归函数——并且仅当我们实际上需要更多的信息，以便我们可以将其应用于参数 (x)。