一些 NP-Complete 问题怎么可能也是 NP-Hard？答案

【问题标题】：How can some NP-Complete problems be also NP-Hard?一些 NP-Complete 问题怎么可能也是 NP-Hard？
【发布时间】：2014-01-27 03:27:08
【问题描述】：

我正在尝试以一种直观的方式将我听到的关于 P、NP、NP-Complete 和 NP-Hard 的内容概括起来，这样我就不必记住它们的定义了。

在下图中（左侧场景，P != NP），NP-Complete 和 NP-Hard 之间存在重叠区域。这是否意味着某些问题既是 NP-Complete 又是 NP-Hard？根据这个特定的答案，我发现这很矛盾：What are the differences between NP, NP-Complete and NP-Hard?。

上面链接中的表格表明 NP-Complete 问题在多项式时间内是可验证的，而 NP-Hard 问题则不是。那么怎么会有重叠呢？

【问题讨论】：

您链接到的答案与其他答案相矛盾，并且通过链接到维基百科上的该图像，也与自身相矛盾。您的问题似乎最好作为对该答案要求澄清的后续评论提出。（在你记住它们的定义之前，我会毫不犹豫地说你已经完全理解了它们。）

标签： complexity-theory computer-science np-complete np-hard

【解决方案1】：

NP-completeness 的部分定义是 NP hard。因此，每个 NP 完全问题都是 NP 难的。这也反映在您的两个图表中。

【讨论】：

【解决方案2】：

在我几个小时前修复之前，您链接到的表格是错误的。 NP-Complete 问题是 NP 问题的一个子集，根据定义，所有 NP 问题在多项式时间内都是可验证的。 NP-hard 问题是至少与任何其他 NP 问题一样难的问题（这有点不直观，因为不在 NP 中的问题可能是 NP-hard）。

要成为NP-Complete，一个问题必须是

在NP中
NP 难

要在特定的复杂性类别中完成，问题必须是

在那个复杂度类中
至少与该复杂性类别中的任何其他问题一样难

我们必须定义“至少一样难”。假设我们在 NP 中有一个问题 A。为了证明它是 NP-hard（因此是 NP-Complete），我们证明了 NP 中的所有问题都可以在多项式时间内转换为 A。因为 A 至少需要多项式时间来求解，并且多项式在加法下是闭合的，所以转换现在可以忽略不计，并且运行时间与 A 的运行时间相同（就它是否为多项式而言）。

一旦你有一个 NP-Complete 问题，你可以证明 NP 中的问题 A 是 NP-hard（因此是 NP-Complete），方法是采用另一个 NP-Complete 问题 B 并在多项式时间内将其转换为 A。

我希望这清楚地表明 NP-Complete 是 NP-hard 的一个子集（并且您链接到的表是错误的）。

【讨论】：