为什么 TSP NP-hard 而哈密顿路径 NP-complete？答案

【问题标题】：Why is TSP NP-hard while the Hamiltonian path NP-complete?为什么 TSP NP-hard 而哈密顿路径 NP-complete？
【发布时间】：2016-12-03 10:30:22
【问题描述】：

为什么TSP和Hamiltonian path problem这两个问题都不是NP完全的？

它们看起来一模一样。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

NP-hardness 和 NP-completeness 的定义相关但不同。具体来说，如果 NP 中的每个问题在多项式时间内都归结为该问题，则该问题是 NP 难的；如果问题在 NP 中既是 NP 难的，又是其自身的问题，则该问题是 NP 完全的。

NP 类由决策问题组成，即有是/否答案的问题。结果，TSP 不能在 NP 中，因为预期的答案是一个数字，而不是是或否。因此，TSP 可以是 NP-hard，但不能是 NP-complete。

另一方面，哈密顿路径问题要求一个是/否的答案，它恰好在 NP 中。因此，由于它也是 NP 难的，所以它是 NP 完全的。

现在，您可以通过将问题从“最便宜的路径是什么？”更改为 TSP 并将其转换为决策问题。到“是否有一条花费 X 或更少的路径？”，后一种表述是 NP 的，而且恰好是 NP 完全的。

【讨论】：

【解决方案2】：

要使问题 X NP-完全，它必须满足：

X 在 NP 中，给定 X 的解，该解可以在多项式时间内得到验证。
X 属于 NP-hard，也就是说，每个 NP 问题都可以在多项式时间内归约到它（您可以通过从已知的 NP-hard 问题（例如哈密顿路径）进行归约来做到这一点）。

旅行商问题 (TSP) 有两个版本：

优化版本（可能是你正在看的那个），即找到TSP的最优解。这不是一个决策问题，因此不能在 NP 中，但它在 NP-hard 中，可以通过Hamiltonian Path reduction 证明。因此，这不是一个 NP 完全问题。
决策版本 - 给定一个整数 K，是否有一条路径通过长度

【讨论】：

那么优化问题是NP难的？
我认为您的定义中有几个错误。决策问题可能没有可在多时间内验证的解决方案（它只是任何带有是/否答案的问题）。 NP-hard 不是根据其他 NP-hard 问题来定义的（尽管您的定义已经足够，但不是必须的）——定义是每个 NP 问题都可以在多时间内归约到它。
@PaulHankin 是的，您当然是正确的，非常感谢您的评论。对于 NP-hard 的定义，我只想给出一个直观的定义，证明问题 X 所需的步骤是 NP-hard。我更新了我的答案。
问题：对于 TSP 决策问题，假设答案是否定的。您将如何在 polytime 中检查？
@wjmccann 通过遍历给定的解决方案并验证它确实是“否”。你不能简单地说“不”——你需要证明为什么答案是“不”——从那里你可以简单地检查它，因为你只需要遍历 n 个节点从解决方案。