mxn 矩阵的最小 k 个元素，限制条件是所有元素都不能在同一行/列中答案

【问题标题】：Minimum k elements of an mxn matrix, with the restriction that none of the elements can be in the same row/columnmxn 矩阵的最小 k 个元素，限制条件是所有元素都不能在同一行/列中
【发布时间】：2015-08-11 17:17:09
【问题描述】：

我有一个动态规划（可能是贪婪的）问题。

令 A 为 mxn 矩阵。令 k 是一个整数，使得 k &leq;最小{m,n}。

找到 A 的 k 个元素，使得这 k 个元素中的每一个都在它们唯一的列和行中；并且这k个元素的总和被最小化。

换句话说，我想从 A 中挑选 k 个元素，使得它们的总和最小；但如果我选择 A_2,3 则我无法选择 A_2,6 或 A_4,3。

一种贪婪的方法似乎是选择 A 中的最小元素，删除其行和列，然后重复直到 A '耗尽'。但是，在这种情况下，我无法证明贪婪选择属性，或者它甚至具有贪婪选择属性。

我也不知道如何为 DP 解决方案构建表格。

如果这个问题之前已经提出过并且有具体的名字，可以分享一下吗？

【问题讨论】：

（为简单起见我们可以考虑k=n=m的情况）
这是最小权重二分匹配。不，贪婪是行不通的。
出色的指点先生/女士，谢谢。

标签： algorithm matrix dynamic-programming

【解决方案1】：

贪婪不会削减它。你需要匈牙利算法机器。可以考虑创建 n - k 个新行和 m - k 个新列，使新行新列条目非常不吸引人，而其他新条目非常有吸引力。然后找到一个最小成本的解决方案，将行与列一对一匹配，并丢弃包含新行或新列的对。

在实际实践中，会有更好的实现，但描述它需要我回顾一下HA的细节。

【讨论】：

是的，连同@tmyklebu 的评论，这似乎是正确的方法。将矩阵视为二分图的权重提供了一个很好的视角。谢谢大家

【解决方案2】：

贪心算法不会给出最优解。假设 A11 = 0，A12 = A21 = 1，其他所有值 = 1000。通过取 A12、A21 和任何 k-2 个其他值找到最小的总和，总计 1000k - 1998。选择 A11 = 0 首先迫使您选择 k -1 值为 1000，总共 1000k - 999。

【讨论】：