我有以下问题，我对此只有一点想法：
考虑磁带存储问题。给定长度为l1,...,ln 的n 文件和访问它们的频率f1,...,fn，其中所有频率的总和为1 和0<fi<1。 “最优”是指最小化这些文件的平均检索时间。例如，如果你有两个文件，每个文件长度10, 4和频率0.8, 0.2，如果先存储文件1，则平均检索时间为10 x 0.8 + 14 x 0.2 = 10.8。
设计一个算法来找到最优顺序并证明它有效。
我的想法： 顺序前面的频率越大，长度越长，但应该优先考虑哪个因素？
【问题讨论】：
... + 14 x 0.2？
14 x 0.2
标签： algorithm optimization dynamic-programming frequency
这个问题不需要动态规划。这是一个简单的排序问题，略有不同。
为每个文件查找frequency / length。这让您了解文件的每个单位长度访问的频率。因为每个文件都被前一个文件的长度“惩罚”，所以按降序对它们进行排序。
证明：
假设订单以某种方式固定。然后，交换任何两个相邻文件不会影响除交换位置之外的任何其他li * fi。调用交换中左边的一个x 和另一个y == x+1。那么，平均检索时间的变化是ly*fx - lx*fy。如果fx/lx < fy/ly，那么ly*fx < lx*fy表示ly*fx - lx*fy < 0，表示平均检索时间减少了。这意味着我们有优势进行这种交换。每当fx/lx < fy/ly 时，我们都会继续进行此类交换，并且我们将达到不再可能的地步。这一定是最佳答案。
每当left < right时交换相邻的东西，类似于降序的冒泡排序，所以我们通常可以使用任何排序来代替。
【讨论】：
让文件的长度为升序（l1<l2<l3<l4<...<ln），频率为降序。
因为
average retrieval time =
ART1 =
(l1)*f1 +
(l1+l2)*f2 +
(l1+l2+l3)*f3 +
...
假设我们交换 l1 和 l2。所以我们打破了长度的升序。
ART2 =
(l2)*f1 +
(l2+l1)*f2 +
(l1+l2+l3)*f3 +
...
如果它使(ART1 < ART2)，它使情况变得更糟。
看这个。
我们应该检查ART1-ART2 < 0？
ART1-ART2 =
{ (l1)*f1 + (l1+l2)*f2 }
-
{ (l2)*f1 + (l2+l1)*f2 }
= l1*f1-l2*f1
= (l1-l2)*f1.
根据假设l1<l2，我们得出结论ART1-ART2<0。
所以长度应该是升序。
同样，如果你交换 f1 和 f2，你可以探测频率应该是降序。
【讨论】：
DP 可以工作，但不是解决这个问题的好方法，因为虽然检查所有选项的蛮力方法需要 O(n!) 时间，但 DP 方法需要的时间与不同子问题的数量成正比。比如说，首先我们做出所有可能的 n 个选择，然后我们将留下 n 个大小 (n-1) 不同的子问题。要使 DP 起作用，主问题的最优解应该来自子问题的最优解。现在，对于大小 (n-1) 的问题，假设我们知道解决方案，所以
total average retreival time = (length of first chosen file * 1) + (retrieval time for (n-1) size problem)
由于上述等式，会出现重叠的子问题，但不同子问题的总数会是
nC1 + nC2 + ... nCn = 2^n
仍然是指数级的。
因此，DP 会降低复杂性，但问题的性质仍然是指数级的。
【讨论】：