多个序列的最长公共子序列答案

【问题标题】：Longest Common Subsequence for Multiple Sequences多个序列的最长公共子序列
【发布时间】：2011-08-10 18:24:29
【问题描述】：

我已经做了大量研究来寻找 M = 2 序列的最长序列，但我正在尝试找出 M ≥ 2 序列的最长方法

我得到 N 和 M: M 个序列，具有 N 个唯一元素。 N 是 {1 - N} 的集合。我已经考虑过动态编程方法，但我仍然对如何实际合并它感到困惑。

输入示例

这里的最大序列可以看出是

5 3 1

预期输出

Length = 3

【问题讨论】：

您能发布您迄今为止尝试过的方法吗？从那里我们可以为您指明正确的方向..
M 是子序列必须存在的序列数？
@Jerry 第一行指定 N 和 M。这对于 C 竞赛/作业问题规范来说是正常的 :)
@Karl：好的——知道了。谢谢。

标签： c algorithm dynamic-programming

【解决方案1】：

您可以查看“Design of a new Deterministic Algorithm for finding Common DNA Subsequence”论文。您可以使用此算法来构造 DAG（第 8 页，图 5）。从 DAG 中，读取最大的常见不同子序列。然后尝试一种动态规划方法，使用 M 的值来决定每个序列需要构建多少个 DAG。基本上就是把这些子序列作为key，把对应的序列号存放在找到的地方，然后尝试找到最大的子序列（可以大于1）。

【讨论】：

【解决方案2】：

一个简单的想法。

对于1 和N 之间的每个数字i，计算最后一个数字为i 的最长子序列。（姑且称之为a[i]）

为此，我们将在第一个序列中从头到尾遍历数字 i。如果a[i] > 1，则有j，这样在每个序列中它都在i之前。
现在我们可以检查j 的所有可能值并（如果之前的条件成立）做a[i] = max(a[i], a[j] + 1)。

作为最后一位，因为j在第一个序列中在i之前，这意味着a[j]已经计算好了。

for each i in first_sequence
    // for the OP's example, 'i' would take values [5, 3, 4, 1, 2], in this order
    a[i] = 1;
    for each j in 1..N
        if j is before i in each sequence
            a[i] = max(a[i], a[j] + 1)
        end
    end
end

如果你事先计算出位置矩阵，那就是O(N^2*M)。

【讨论】：

我认为这基本上是正确的，但是您编写的伪代码令人困惑。看起来i 迭代了序列列表，但它不应该从1 迭代到N 吗？我猜你认为sequences[0] 是第一个序列，因此包含所有元素1 .. N，但我认为像j 那样写出来更清楚。
@IVlad 是的，它应该迭代从 1 到 N 的所有数字，但也要以正确的顺序。但你是对的，伪代码令人困惑。我已经澄清了一点。不确定是否可以更好地呈现“订单”要求。
非常感谢，我花了一点时间才明白这里发生了什么，但现在说得通了。

【解决方案3】：

由于您有独特的元素，@Nikita Rybak 的答案是可以使用的，但是由于您提到了动态编程，因此当您有两个以上的序列时，您将如何使用 DP：

dp[i, j, k] = length of longest common subsequence considering the prefixes
              a[1..i], b[1..j], c[1..k].


dp[i, j, k] = 1 + dp[i - 1, j - 1, k - 1] if a[i] = b[j] = c[k]
            = max(dp[i - 1, j, k], dp[i, j - 1, k], dp[i, j, k - 1]) otherwise

要取回实际的子序列，请使用从dp[a.Length, b.Length, c.Length] 开始的递归函数，基本上颠倒上述公式：如果三个元素相等，则回溯到dp[a.Length - 1, b.Length - 1, c.Length - 1] 并打印字符。如果不是，则根据上述值的最大值回溯。

【讨论】：