具有扭曲的二维网格中从 (0,0) 到 (N-1, N-1) 的唯一路径

Question

路径只能从 (0,0) 开始在网格中向左和向下移动。最终它需要到达 (N-1, N-1)。

如果网格是 NxN，则有 2N 个选择 N 个这样的路径，随着 N 的增加呈指数增长，并且由于内存限制，我无法将所有这些路径存储在列表中。我们还可以将每条路径编码为长度为 2^(N-1) 的位串，其中 1 是向右移动，0 是向下移动。每个编码路径中有相同数量的 0 和 1。

我得到了一个维度为 NxN 的 2D 方形网格。网格中的每个单元格都有一个非负值。我需要对每条唯一路径的所有这些值求和。我怎样才能有效地做到这一点？

Answer 1

我们称值矩阵 V，所以 V[y][x] 是单元格 (x, y) 处的值。

每条路径都从 (0, 0) 开始，到 (N - 1, N - 1) 结束。一条路径 P 的总值，value(P) 是位于 P 上的所有单元格的值之和。

问题是计算从 (0, 0) 到 (N - 1, N -1) 的所有有效路径 P 的 SUM(value(P))。

除了枚举每条有效路径之外，计算 SUM 的另一种方法是计算每个单元格 (x, y) 有多少条路径通过该单元格。如果有 i 条路径通过此单元格，则此单元格贡献的总值为 i * V[y][x]。因此，我们只需遍历网格中的每个单元格，为其计算 i(x, y)，然后将 i(x, y) * V[y][x] 添加到总结果中。

如何计算 i(x, y)？ i(x, y) 只是没有。通过 (x, y) 从 (0, 0) 到 (N-1, N-1) 的有效路径。提示：- 如果有一种从 (0, 0) 到达 (x, y) 的方法和 b 种从 (x, y) 到达 (N-1, N-1) 的方法，那么有 a * b 种方法可以通过 (x, y) 从 (0, 0) 到达 (N-1, N-1)。休息很容易。