将一组项目公平地分成 3 个单独的组的算法是什么？答案

【问题标题】：What is an algorithm to split a group of items into 3 separate groups fairly?将一组项目公平地分成 3 个单独的组的算法是什么？
【发布时间】：2012-02-04 10:36:21
【问题描述】：

我的课本中有这个问题：给定一组 n 个项目，每个项目都有一个不同的值 V(i)，将项目分成 3 组以使具有最高值的组最小化的最佳方法是什么？给出这个最大组的值。

我知道如何解决这个问题的 2 堆变体：它只需要在问题上反向运行背包算法。但是，我很困惑如何解决这个问题。谁能给我指点？

答案：和 0-1 背包差不多，虽然是 2D 的

【问题讨论】：

既然来了又消失了，下面是贪心失败的例子{100, 51, 49, 40, 30, 20, 10}。最佳答案是完美分割，而不是贪婪地将最大的未分配元素应用于最小的组。
我有同样的教科书。布赖恩·迪恩（Brian Dean）给了我；）

标签： algorithm dynamic-programming

【解决方案1】：

棘手的家庭作业问题。这本质上是 3 分区问题的优化版本。

http://en.wikipedia.org/wiki/3-partition_problem

它与装箱、分区和子集和（以及，正如您所说的背包）密切相关。然而，它恰好是强 NP-Complete，这使得它比它的表亲更难。无论如何，我建议您从查看相关问题的动态编程解决方案开始（我会从分区开始，但找到 DP 解决方案的非维基百科解释）。

更新：我很抱歉。我误导了你。 3 分区问题将输入分成 3 组，而不是 3 组。我所说的其余部分仍然适用，但再次希望您的变体不是强 np-complete。

【讨论】：

@RichieLi 诚实的问题：为了不破坏问题，你想让我知道多少细节？即期望的递归关系是否太多（不是我有它，我必须自己解决）？
呵呵，我自己试试。时间是晚上，所以如果我需要更多帮助，我会尽快回复您。
更新：我有一个动态编程解决方案。如果您需要，我可以提供更多提示。如果您想要一个巨大的提示（可能是剧透），这些关于子集和的讲义基本上可以为您提供所需的一切：sites.cs.queensu.ca/courses/cisc365/Record/Week06/20111018.html
@SaeedAmiri：套用你的话，你有没有看过你评论的回复？我不仅更新了回复（发布后 30 分钟，在您发表评论前 6 个月）声明它是 not 3 分区，而且我提供了一个参考链接，其中包含有关如何通过动态规划解决问题。
@ccoakley，是的，你修复了它，但编辑你的答案并删除错误的部分。今天又问了类似的问题，有人把它与这个联系起来，我读了你的答案的第一段，实际上对我来说如何解决它并不重要，重要的是看到一个正确的答案并关闭新问题。跨度>

【解决方案2】：

令 f[i][j][k] 表示是否有可能在第一个集合中有 value j，在第二个集合中有 value k，有前 i 项。

所以我们有f[i][j][k] = f[i-1][j-v[i]][k] or f[i-1][j][k-v[i]]。

最初我们有f[0][0][0] = True。

对于每个f[i][j][k] = True，更新你的答案取决于你如何定义相当。

【讨论】：

但是第i项也可以进入第三组，所以我认为应该是f[i][j][k] = f[i-1][j-v[i]][k] or f[i-1][j][k-v[i]] or f[i-1][j][k]。
另外，为了说明这一点，当考虑 f[i][j][k] = True 的一些 i、j、k 的解决方案时，您将计算第三组的权重使用 s[i] - j - k，其中 s[i] 是前 i 个项目的权重之和（在开始时以线性时间预先计算）。

【解决方案3】：

从数学上讲，我不知道“最佳”是什么，但一种明显的方法是建立一个群体群体，最初每个群体中有一个项目。然后，只要您的组数多于所需的最终组数，就提取具有最低值的两个组，并将它们组合成一个新组，然后再添加回集合中。这类似于构建 Huffman 压缩树的方式。

例子：

1 3 7 9 10
becomes
4(1+3) 7 9 10
becomes
9 10 11(1+3+7)

【讨论】：

我们还没有了解到这一点，所以我不认为我应该在这个问题上使用它。
挑选尼特：贪婪方法在霍夫曼情况下是最佳的（对于固定字母的可变长度编码）。只有当问题中的数字分布良好（我不能比“很好”这个词更精确）时，它才能合理地执行分区。鉴于该问题被标记为“动态编程”，我猜想分配的目的不是使用贪婪技术。