数组中的矩形区域

Question

给定一个包含 1 和 0 的 N*N 矩阵并给定一个整数 k，找到一个包含 k 个 1 的矩形区域的最佳方法是什么？

Answer 1

我可以用 O(N^3*log(N)) 做到这一点，但肯定最好的解决方案更快。首先，您创建另一个 N*N 矩阵 B（初始矩阵为 A）。 B的逻辑如下：

B[i][j] - is the number of ones on rectangle in A with corners (0,0) and (i,j).

您可以通过动态规划为 O(N^2) 计算 B：B[i][j] = B[i-1][j] + B[i][j-1] - B[i- 1][j-1] + A[i][j].

现在很容易用 O(N^4) 来解决这个问题，方法是遍历所有右下 (i=1..N, j=1..N, O(N^2)), left -bottom (z=1..j, O(N)) 和 right-upper (t=1..i, O(N))，你可以在 B 的帮助下得到这个矩形中的个数：

sum_of_ones = B[i][j] - B[i][z-1] - B[t-1][j] + B[t-1][z-1].

如果你得到了准确的 k: k==sum_of_ones，那么就得出结果。

要使它成为 N^3*log(N)，你应该通过二分搜索找到右上（所以不只是迭代所有可能的单元格）。

Answer 2

考虑这个更简单的问题：

给定一个大小为 N 且仅包含值 1 和 0 的向量，找出其中恰好包含 k 个值 1 的子序列。

设A 为给定向量，S[i] = A[1] + A[2] + A[3] + ... + A[i] 表示子序列A[1..i] 中有多少个1。

对于每个i，我们对j <= i 的存在感兴趣，这样S[i] - S[j-1] == k。

我们可以使用以下关系在O(n) 中使用哈希表找到它：

S[i] - S[j-1] == k => S[j-1] = S[i] - k

let H = an empty hash table
for i = 1 to N do
  if H.Contains (S[i] - k) then your sequence ends at i
  else
    H.Add(S[i])

现在我们可以使用它来解决O(N^3) 中的给定问题：对于给定矩阵中的每个行序列（有O(N^2) 行序列），考虑该序列表示一个向量并应用前面的算法在上面。 S 的计算在矩阵情况下有点困难，但并不难弄清楚。如果您需要更多详细信息，请告诉我。

更新： 假设k = 12：

0 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 0

单独考虑第一行：

0 1 1 1 1 0

将其视为向量0 1 1 1 1 0 并对其应用更简单问题的算法：我们发现没有子序列加起来为 12，因此我们继续。

考虑前两行：

0 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 0

将它们视为向量0+0 1+1 1+1 1+1 1+1 0+0 = 0 2 2 2 2 0，然后将算法应用于更简单的问题：同样，没有子序列加起来为 12，所以继续。

考虑前三行：

0 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 0

将它们视为向量0 3 3 3 3 0 并对其应用更简单问题的算法：我们发现从位置 2 开始到位置 5 结束的序列是解决方案。由此我们可以通过简单的簿记得到整个矩形。