图论中的盒子堆叠答案

【问题标题】：box stacking in graph theory图论中的盒子堆叠
【发布时间】：2011-05-30 21:59:10
【问题描述】：

请帮我找到解决这个问题的好办法。

我们有 n 个 3 维的盒子。我们可以定位它们，并且我们希望将它们放在另一个之上以获得最大高度。如果 2 个维度（宽度和长度）小于下面盒子的尺寸，我们可以将一个盒子放在另一个盒子的顶部。

例如，我们有 3 个维度 w*D*h，我们可以将其显示为 (h*d,d*h,w*d,d*W,h*w,w*h) 请帮我用图论解决它。在这个问题中，我们不能将（2*3）放在（2*4）之上，因为它具有相同的宽度。所以二维应该小于盒子

【问题讨论】：

有什么具体的理由用图论来解决吗？
请帮忙解决什么？您已经说过如何堆叠盒子，但您没有提出问题。
@Saurabh 因为他可能需要证明这是 NP 完全的。我在考虑作业标签。
这个问题之前已经提出：stackoverflow.com/questions/4511086/box-stacking-problem（我认为当前投票最多的答案是不正确的，因为它克隆了盒子）和更早的stackoverflow.com/questions/2329492/box-stacking-problem/…（当前接受的答案很简单错误；评论给出了反例）。

标签： algorithm graph graph-algorithm

【解决方案1】：

编辑：仅当框不能围绕所有轴旋转时才有效。

如果我正确理解了这个问题，它可以通过动态规划来解决。查找最大堆栈高度的简单算法是：

首先旋转所有框，使得对于框 B_i，w_i

现在根据底部区域 w_i * d_i 对框进行排序，并让索引显示这一点。这需要时间 O(n log n)。

现在 B_i 只有在 i

顶部有 B_j 的最大堆栈是

B_j 在地上
由前 j-1 个盒子组成的堆栈，顶部是 B_j。

现在我们可以创建一个递归公式来计算最大堆栈的高度

H(j) = max (h_j, max (H(i)|i

通过计算 max (H(j),i

如果我们想要实际的堆栈，我们可以将一些信息附加到 H 函数并记住索引。

【讨论】：

我认为你错过了一个重要的事实，即盒子可以任意旋转，这样宽度就可以变成高度，反之亦然。
@utdiscant 对你的公式进行小修正 H(j) = max (h_j, max (H(i)|i

【解决方案2】：

已更新（正确？但可能不是最有效的）：

每个盒子变成3个顶点（称这些顶点相关）。获取加权 DAG。修改here描述的算法拓扑排序（忽略某些顶点相关的事实），遵循算法，但不是整数数组，而是保留通向每个顶点的路径列表。然后，当为新顶点添加路径时（wiki alg 中的“w”），通过删除包含与 w 相关的顶点的 v 的路径来制作通往那里的路径列表。与原始算法不同，这个算法是指数的。

原始错误答案（见 cmets）：

每个盒子的 3 个表面尺寸都变成 3 个节点。然后创建一个有向图，将每个表面连接到所有较小尺寸的表面。将价格分配给每条边，使其等于边所通向的节点的第三维（即高度）。现在这是寻找longest path problem in a DAG的问题。

【讨论】：

不完全是，因为如果您使用一个节点，则会排除另外两个节点。
@Keith Randall 好点！所以不要将盒子分成3个节点。由于我们将权重分配给边，而不是节点，边权重只是从源节点到目标节点可达到的最大高度。因此，如果 A 大于 B，则从节点 A 和 B 到节点 X 可能对 A 具有更高的权重。所以它仍然是 DAG 中可在多项式时间内求解的最长路径。
@Keith Randall 不，没关系，这也不起作用，因为权重取决于我们如何到达节点 A 和 B。该死，如此接近！
我认为这也行不通。所以每个节点都是一个盒子，可以在 3 个方向中的任何一个。没有限制使用入站边缘的框的方向与使用出站边缘的框的方向相同。你的边缘可以假设盒子又高又薄，你的边缘可以假设盒子又宽又短。
@Keith Randall 嘿，这个怎么样。回到分裂成 3 个顶点（称它们为“相关”）。拓扑排序（忽略某些节点相关的事实），并运行动态编程算法（如en.wikipedia.org/wiki/… 所述），但不是整数数组，而是保留通向每个顶点的路径列表。然后，当为一个新顶点添加生成路径时（wiki alg 中的“w”），通过删除包含与 w 相关的顶点的 v 的路径来创建一个路径列表。这将不再是多项式时间..