系列的第 n 项答案

【问题标题】：nth term of series系列的第 n 项
【发布时间】：2012-07-02 09:19:14
【问题描述】：

我们要找到这个系列的第n个词http://oeis.org/A028859

答案应该是模 1000000007

我已经写了代码，但是当 n a 是巨大的数字时超过了时间限制。

#include<iostream>
using namespace std

int main()
{
    long long int n;
    cin>>n;

    long long int a,b,c;
    a=1;
    b=3;

    int i;
    for(i=3;i<=n;i++)
    {
        c=(2ll*(a+b))%1000000007;
        a=b;
        b=c; 
    }

    cout<<c;
}

【问题讨论】：

有没有机会粘贴比这个更干净的代码示例，使用适当的缩进并避免过多的空白？
这和动态规划有什么关系？
两个简单的优化——你可以开始为循环中的每个迭代执行三个步骤，没有副本，执行 "c=2(a+b)..." "b=2(c +a)..." "a=2(b+c)...".然后，您也可以在第一步中在 c 上每个循环仅执行一次 mod。这应该是你的速度的两倍以上。
?对不起老兄，你误解了DP的意思。 Dp 是关于存储计算值以便在将来的计算中使用它们，而不必再次计算它们。
@lcfseth stackoverflow.com/questions/6184869/…

标签： c++ algorithm series

【解决方案1】：

当long long 不够用时，您可能想使用 bignum 库。例如GNU MP。

【讨论】：

但我们必须给出模1000000007的答案
long long int 不仅足够，而且我相信 unsigned long int 也足够，因为最大可能值为 4*10000007

【解决方案2】：

解决此类问题的标准技术是将其重写为矩阵乘法，然后使用exponentiation by squaring 有效地计算矩阵的幂。

在这种情况下：

a(n+2) = 2 a(n+1) + 2 a(n)
a(n+1) = a(n+1)

(a(n+2)) = (2  2) * ( a(n+1) )
(a(n+1))   (1  0)   ( a(n)   )

所以如果我们定义矩阵 A=[2,2 ; 1,0]，那么您可以通过

计算第 n 项

[1,0] * A^(n-2) * [3;1]

所有这些操作都可以以 1000000007 为模完成，因此不需要大数库。

它需要 O(log(n)) 2*2 矩阵乘法来计算 A^N，所以总的来说这个方法是 O(log(n))，而你原来的方法是 O(n)。

编辑

Here 是一个很好的解释，也是这个方法的 C++ 实现。

【讨论】：

Here 我已经回答了一个类似的问题，但还利用了欧拉定理。 1000...07 是一个素数，因此您不必计算 A^N 但 A^(N % (p-1)) 就足够了。这样，该方法变为 O(1)（或 O(p)，但 p 是常数）而不是 O(log(n))。