有两个和两个集合的背包

Question

对于算法作业，我被要求给出一个背包问题的解决方案。我输入了一个产品列表。一种产品被分配了一个成本和一些卡路里。所以我有两套，一套钱，一套大卡。我的目标是选择能提供等量金钱和千卡的产品。

例如，如果我有这个输入：(1, 3), (2, 4), (5, 8), (4, 5)

货币总和等于 m=7 和 kcal 总和等于 k=12，我需要选择完全满足这两个总和的产品。在我的示例中，我将选择产品 (2, 4) 和 (5, 8)。我的解决方案只需要在存在符合要求的产品时返回true，否则返回false。无需退货一套产品

我已经编写了一个基于子集问题的递归解决方案，我记得我的函数是否使用最后一个产品。此解决方案有效，但速度太慢 -> 2^n。

def isSubsetSum(set, n, sum, set2, sum2):
    if (sum == 0 and sum2==0):
        return True
    if (n == 0 or (sum < 0 or sum2 < 0)):
        return False
        
    if (set[n] > sum) or (set2[n] > sum2):              # if one of the two values (money, calories) is bigger than the sum 
        return isSubsetSum(set, n-1, sum, set2, sum2)   # we avoid using this product -> recall with n-1

    inclusion = isSubsetSum(set, n-1, sum-set[n], set2, sum2-set2[n]) # we recurse includig the last product
    exclusion = isSubsetSum(set, n-1, sum, set2, sum2)  # we recurse excluding the last product

return inclusion or exclusion

我试图将我的子集函数更改为动态编程方法，但我很难将我的函数更改为使用两组（一组钱和一组卡路里）。

我与助教交谈，他们指导我选择背包问题而不是子集和问题。我看到了背包动态编程方法的原理，但是在将问题更改为使用我的输入时，我遇到了与之前使用子集相同的问题。

我想我遗漏了一些东西，如果你能帮助我理解我错在哪里，那就太好了。

谢谢

Answer 1

下面是动态编程方法的样子：

import numpy as np

M = 7 
K = 12
products = [(1, 3), (2, 4), (5, 8), (4, 5)]

# For an empty list of products, only the problem with m=k=0 is solvable:
solvable = np.zeros(shape=(M + 1, K + 1), dtype=bool)
solvable[0, 0] = True

def one_more(product, solvable):
    result = solvable.copy()
    m_inc, k_inc = product
    for m in range(m_inc, M + 1):
        for k in range(k_inc, K + 1):
            if not solvable[m, k]:
                result[m, k] = solvable[m - m_inc, k - k_inc]
    return result

for product in products:
    solvable = one_more(product, solvable)

# The full problem of interest:
print(solvable[M, K])

NumPy 在这里很有用，因为它提供了一个二维数组数据结构，但使用嵌套列表也可以达到同样的效果。

我们从目标值M 和K 作为常量和给定的产品列表开始。关键思想是迭代产品列表，从 0 个产品开始，一次添加一个产品，每次更新一个矩阵 (solvable)，该矩阵指示哪些子问题对于给定的部分问题列表是可解决的。

更具体地说，如果 m=i 和 k=j 的问题可以通过当前的部分产品列表解决，solvable[i, j] 为 True。

函数one_more() 更新solvable 矩阵以添加更多可用产品。如果 m 和 k 减少了新产品的值的子问题已经可以解决，那么没有这个新产品就无法解决的子问题变得可解决。

一旦我们用所有产品更新了solvable，我们就可以在这个矩阵的右下角查找感兴趣的解决方案。