在链表中查找循环的开始

Question

我对 leetcode 问题（Linked List Cycle II）有疑问，其解决方案列于here。具体我想问一下解决方案中的以下代码块：

node1, node2 = head, hare
while node1 != node2:
        node1 = node1.next
        node2 = node2.next

return node1

乌龟和兔子相遇后，我们需要在链表中找到循环从哪里开始，所以启动了两个指针，一个从头部开始，另一个从兔子开始。我的问题是为什么这个代码块总是有效？为什么不会出现node2 可能最终总是落后node1 一步的情况？

Answer 1

这里有两个步骤。首先我们展示解决方案在代数上意味着什么，然后我们展示解决方案存在。这是向后“前进”然后再次向前 - 我假设上面的解决方案是正确的，检查有什么含义，并证明它们可以发生。

我不确定从下面的证明中是否有一个简单的直觉。对于一个人来说，我看不到可以推断出来的东西。

第 1 步

表示我们的节点0...L，循环起点为C，兔子和乌龟的第一个交汇点（我们可以只说乌龟吗？），如果存在，则为M。

引理 1 M = (L-C)J 其中 J 是某个整数。

这来自于观察兔子经过的东西：

1. 总距离仅为2M，因为乌龟唤醒了M 节点（这是将起点设置为0 开始得到回报的地方，否则我们将需要处处-1）。
2. 另一方面，兔子到达M，然后继续经历L-C长度循环。如果它困扰你，它可能会在几次运行中“错过”M，记住这没关系 - 最后它会到达M，你可以单步倒退，展开整数数量的循环，然后从 M 回到 0。

所以：

2M = M+(L-C)J   =>   M = (L-C)J

我们完成了。

引理 2 如果M 存在，则C = (L-M) + (L-C)I 其中I 是某个整数。

这更容易。我们再次看看两个节点必须通过什么。头部必须精确地通过C (LHS)，而交汇点的节点必须从M 到达L，然后再经过一个节点才能到达C。由于我们计数为 0，因此最终结果为 L-M。现在它必须经过L-C 整数个循环，证明上述。

第 2 步

现在我们证明解决方案存在。

引理 3 来自引理 1 的 J。存在使得 L >= M >= C。

如果存在J 这样(L-C)J = C 我们就完成了。否则，取最小的K 使得

(L-C)K > C

通过否定假设

(L-C)K > L   =>   (L-C)K - (L-C) > L - (L-C)   =>   (L-C)(K-1) > C

与K 的假设相矛盾的是最小的。因此，J=K 解决了我们的问题。

引理 4 来自引理 2 的 I 存在。

要看到这一点，我们只需要看看C = (L-M)I 是否有解决方案，其中I 和J 是整数和正数。我们替换M 并有：

C = (L-M) + (L-C)I = L-(L-C)J+(L-C)I = (1-J+I)L + (J-I)C   =>   (1-J+I)L=(1-J+I)C

所以如果有一个整数解，要么L=C，这很无趣，要么

I=J-1

Q.E.D