在 Haskell 中除以零答案

【问题标题】：Division by zero in Haskell在 Haskell 中除以零
【发布时间】：2012-03-10 08:58:09
【问题描述】：

我发现div 和/ 的行为之间存在相当奇怪的不一致。

*ghci> :t 1 `div` 0
1 `div` 0 :: Integral a => a
*ghci> :t 1 / 0
1 / 0 :: Fractional a => a
*ghci> 1 / 0
Infinity
*ghci> 1 `div` 0
*** Exception: divide by zero

我很惊讶地注意到小数除以零会导致Infinity，而div 正确导致异常。 NaN 对于/ 也可以接受，但为什么是Infinity？这样的结果没有数学上的理由。请问您知道这是什么原因吗？

【问题讨论】：

在数学上，1 / 0 的结果是 Infinity 是完全合理的。它不是唯一合理的返回值，而是最有意义的返回值。请注意，如果您评估 1 / 0 :: Rational，也会收到 divide by zero 错误。
@DanielFischer：我不会称其为“数学上完全合理的”，因为这种紧致化（具有正无穷和负无穷大）破坏了很多支持 ℝ 的定理，其中一些在许多程序中都假定。
在处理浮点数时不应该假设这样的事情。即使是像关联性这样的基本属性也不一定成立。 NaNs 的平等也不是自反的！（例如(0/0) /= (0/0).
@leftaroundabout 这就是为什么它不是1/0 的唯一合理价值。但是 Alexandrov 紧化也破坏了 ℝ 的许多有用性质——更不用说 Čech 紧化了。
@DanielFischer：将其计算为 x->0^+ 的 1/x 的极限是合理的，但不仅仅是经典的简单除法。

标签： math haskell division divide-by-zero

【解决方案1】：

div 不返回Infinity 的原因很简单——Integer 类型中没有无穷大的表示。

/ 返回 Infinity，因为它遵循 IEEE 754 标准（描述浮点数表示），因为默认的 Fractional 类型是 Double。其他具有浮点数的语言（例如 JavaScript）也表现出这种行为。

为了让数学家更加畏缩，如果你除以负 0，你会得到不同的结果，尽管 -0 == 0 表示浮点数：

Prelude> 1/(-0)
-Infinity

这也是标准中的行为。

如果您使用不同的小数类型，例如 Rational，您将获得预期的行为：

Prelude> 1 / (0 :: Rational)
*** Exception: Ratio.%: zero denominator

巧合的是，如果您想知道为什么 Integer 和 Double 在您的实际操作没有引用它们时是有问题的类型，请查看 Haskell 如何处理 @ 中的默认类型（尤其是数字类型） 987654321@.

简短的版本是，如果您有来自 Num 类的模棱两可的类型，Haskell 将首先尝试 Integer 然后 Double 为该类型。您可以使用default (Type1, Type2...) 语句更改它，或者在模块级别使用default () 语句将其关闭。

【讨论】：

在哪里可以了解default 声明？我以前没见过。
我链接到的报告部分接近尾声。我认为 Haskell 的 Gentle Introduction to Haskell 中也提到了这一点。但是，我不确定它的内容比我在这里介绍的要多得多。（除非您启用某些扩展，否则它只涉及数字类型并且行为就像我解释的那样。）
我刚刚将它输入到 GHCi 中。你有哪个版本的 GHC？另外，如果你只是尝试1/0，会发生什么？
@TikhonJelvis：感谢您的回答，确实很完整。我有最后一个疑问：您提到的 IEEE 标准似乎并不是处理除以零的最佳方法，它有点假设它们是分母的限制，而不是真正的除数。像div 那样抛出异常不是更好吗？
@Riccardo Haskell 没有指定用浮点数除以 0 会发生什么。通常，它只会进行浮点除法，所以会发生什么取决于 FPU 所处的模式。这就像 C。

【解决方案2】：

我希望这会有所帮助：

Prelude> 1/0
Infinity
Prelude> -1/0
-Infinity
Prelude> 0/0
NaN

【讨论】：

谢谢...是的，它看起来像一个限制。

【解决方案3】：

出于数学原因，可能不是这样。 Infinity 有时被用作“罪恶箱”：在我们的系统中不能干净地工作的所有东西，把它放在那里。

例子：

Prelude> 10 ** 10 ** 10
Infinity

...在数学上绝对不合理！

【讨论】：

你还没有遇到过硬核有限论者！ :)
@Ingo Hard core as in zero, one, infinity?
@Daniel 我的意思是那些坚持认为像 10^100 这样的数字没有意义的人，因为宇宙中没有那么多物体。但也许他们更喜欢 10^10^10 = NaN
@Ingo 你总是可以询问宇宙中物体组合的数量，突然间会有更多的数字对你有用，因为你必须使用阶乘:)
@Piotr - 我认为最好以其他理由拒绝他们的论点。虽然（10 ^ 100）！可能确实是巨大的，它仍然是有限的，因此他们觉得自己的愚蠢是有道理的。

【解决方案4】：

小数不等于浮点（或双精度）类型。

1/n 的分数，其中 n 变为 0，因此 lim(n→0) 1/n = +∞, lim(n→0) -1/n = -∞，这是有道理的。

【讨论】：

我认为Fractional 约束默认为Double，这是一个浮点类型。阅读我链接到的报告部分。
正确，@TikhonJelvis，除非有默认声明另有说明，否则带有Fractional 约束的模棱两可的类型默认为Double。