什么是“sums-and-products”数据结构？答案

【问题标题】：What are "sums-and-products" data structures?什么是“sums-and-products”数据结构？
【发布时间】：2011-08-20 03:44:30
【问题描述】：

recent blog post on William Cook's Fusings 提到：

关键在于，Ensō 中的结构被整体视为图形，而不是单个值或传统的和积数据结构。

他指的是什么传统的 sum-and-products 数据结构？

【问题讨论】：

另见“代数数据类型”，例如stackoverflow.com/questions/16770/haskells-algebraic-data-types/…

标签： data-structures programming-languages types type-systems algebraic-data-types

【解决方案1】：

他指的是什么传统的 sum-and-products 数据结构？

在类型论中，常规数据结构可以用求和、乘积和递归类型来描述。这导致了用于描述数据结构（以及所谓的代数数据类型）的代数。这种数据类型在静态类型的函数式语言中很常见，例如 ML 或 Haskell。

产品

产品可以被认为是“结构”或“元组”的类型论视图。

正式地，PFPL，第 14 章：

两种类型的二进制积由有序的值对组成，一个来自每种类型按指定的顺序。相关的消除形式是投影，它选择一对中的第一个和第二个分量。空乘积或单元类型仅由没有值的唯一“空元组”组成，并且没有关联的消除形式。

总和

求和类型表示数据结构变体之间的选择。有时它们被称为“联合类型”（如在 C 中）。许多语言没有求和类型的概念。

PFPL，第 15 章：

大多数数据结构都涉及替代方案，例如叶和树中的一个内部节点，或者一个选择的最外层形式一段抽象语法。重要的是，选择决定了结构的价值。例如，节点有孩子，但叶子没有，所以向前。这些概念用 sum 类型表示，特别是二进制 sum，它提供了两个事物的选择，以及 nullary sum，它提供了无所事事的选择。

递归类型

除了乘积和求和之外，我们还可以引入递归，因此可以（部分）根据自身定义类型。很好的例子包括树和列表。

 data List a = Empty | a : List a

 data Tree a = Nil | Node a (Tree a) (Tree a)

和、积和递归的代数

给一个类型，比如Int，我们可以开始为描述数据结构的代数表达式建立一个符号：

一个单独的变量：

Int

两种类型的产品（表示一对）：

Int * Bool

两种类型的总和（表示两种类型之间的选择）：

Int + Bool

还有一些常量：

1 + Int

其中1 是单位类型，()。

一旦你能用这种方式描述类型，你就可以免费获得一些很酷的功能。首先，描述数据类型的一个非常简洁的符号，其次，一些结果从其他代数转移（例如differentiation works on data structures）。

示例

单位类型，data () = ()

一个元组，最简单的产品类型：data (a,b) = (a,b)

一个简单的sum类型，data Maybe a = Nothing | Just a

及其替代品，

还有一个递归类型，链表的类型：data [a] = [] | a : [a]

鉴于这些，您可以通过组合和、乘积和递归类型来构建相当复杂的结构。例如。产品总和的产品列表的简单表示法：[(Maybe ([Char], Double), Integer)] 产生了一些非常复杂的树：

参考文献

编程的实用基础语言，罗伯特·哈珀，2011，http://www.cs.cmu.edu/~rwh/plbook/book.pdf
快速介绍数据类型的代数，http://blog.lab49.com/archives/3011（链接似乎已失效。Internet 存档链接：http://web-old.archive.org/web/20120321033340/http://blog.lab49.com/archives/3011）
Species and Functors and Types, Oh My!, Brent Yorgey, http://www.cis.upenn.edu/~byorgey/papers/species-pearl.pdf -- 对代数、Haskell 数据类型以及与数学中的组合物种 的联系有很好的概述。

【讨论】：

治疗非常彻底，我学到了很多！谢谢你。
你从哪里弄来这么多照片的？
它们是通过 dot 使用名为 vacuum 的库遍历 Haskell 堆中的数据结构生成的。
太棒了。感谢您的参考。
还有这个演讲直观地解释了这个话题：youtube.com/watch?v=YScIPA8RbVE

【解决方案2】：

已经给出了非常详细的答案，但不知何故他们没有提到这个简单的事实。

之所以这样称呼求和类型，是因为求和类型的可能值的数量是两个基础类型的值数量的总和。同样对于产品类型，可能值的数量是产品。

这源于将类型定义为一组值的类型理论。

data MySumType = Foo Bool | Bar Char
data MyProductType = Baz (Bool, Char)

Bool 是一组 2 个值。
Char 是一组 256 个值。
MySumType 是一组 2 + 256 个值。
MyProductType 是一组 2 * 256 个值。

现在你永远不会忘记哪个是哪个。

【讨论】：

这是有史以来最直观的答案！

【解决方案3】：

他指的是函数式编程语言的标准algebraic data types。

例子：

如果a 是A 类型，而b 是B 类型，那么(a, b) 是A x B 类型，即product type。
李>
具有Nil 或Cons x xs 形式的值的列表类型是sum type。

Ensō 显然比这些树状代数类型更强调图形。

【讨论】：

【解决方案4】：

来自大学提供的 Coursera 课程“编程语言”的讲义。华盛顿：

“为什么要乘积和求和？这与布尔代数中 0 为假而 1 为真，其工作方式类似于乘法或或类似加法的事实有关。”

【讨论】：