我有一个深度为 L 级的树数据结构，每个节点有 大约 N 个节点。我想计算出树中节点的总数。要做到这一点（我认为），我需要知道有多少百分比的节点会有孩子。
N 中叶节点与非叶节点的比例的正确术语是什么？
三个节点总数的计算公式是什么？
更新有人在其中一个答案中提到了Branching factor，但随后就消失了。我想这是我一直在寻找的术语。那么公式不应该考虑分支因素吗？
更新我应该说的是对假设数据结构的估计，而不是确切的数字！
【问题讨论】：
标签： data-structures tree
好的，每个节点大约有 N 个子节点，树的深度为 L 级。
With 1 level, the tree has 1 node.
With 2 levels, the tree has 1 + N nodes.
With 3 levels, the tree has 1 + N + N^2 nodes.
With L levels, the tree has 1 + N + N^2 + ... + N^(L-1) nodes.
节点总数为 (N^L-1) / (N-1)。
好的，只是一个小例子，为什么它是指数的：
[NODE]
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/|\
/ | \
/ | \
/ | \
[NODE] [NODE] [NODE]
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/|\
/ | \
【讨论】：
只是为了纠正第一个答案中的错字：深度为 L 的树的节点总数为 (N^(L+1)-1) / (N-1)...（即幂 L+1 而不仅仅是 L)。
这可以如下所示。首先，采用我们的定理：
1 + N^1 + N^2 + ... + N^L = (N^(L+1)-1)/(N-1)
两边乘以(N-1)：
(N-1)(1 + N^1 + N^2 + ... + N^L) = N^(L+1)-1。
展开左侧：
N^1 + N^2 + N^3 + ... + N^(L+1) - 1 - N^1 - N^2 - ... - N^L。
所有项 N^1 到 N^L 都被取消，剩下 N^(L+1) - 1。这是我们的右手边，所以初始相等是正确的。
【讨论】：
如果你的树大约满，也就是说，除了最后两个之外，每个级别都有完整的子级，那么你有 N^(L-2) 和 N^(L- 1）叶子节点和N^(L-1)和N^L节点之间的总数。
如果你的树没有满，那么知道叶子节点的数量并没有帮助，因为一棵完全不平衡的树将有一个叶子节点但任意多个父节点。
我想知道你的陈述“每个节点大约有 N 个节点”有多精确 - 如果你知道平均分支因子，也许你可以计算出树的预期大小。
如果您能够找到叶子与内部节点的比率，并且您知道平均子节点数，则可以将其近似为 (n*ratio)^N = n。这不会给你答案，但我想知道是否有比我数学更好的人想办法将 L 插入这个方程并给你一些可解的东西。
不过，如果您想准确地知道，您必须遍历树的结构并随时计算节点数。
【讨论】：
深度L的节点数计算公式为：（假设有N个根节点）
NL
要计算所有节点的数量，需要对每一层执行此操作：
for depth in (1..L)
nodeCount += N ** depth
如果只有 1 个根节点，则从 L 中减去 1，并将总节点数加 1。
请注意，如果在一个节点中的叶子数量与平均情况不同，这可能会对您的数量产生很大影响。树的位置越靠前，影响越大。
* * * N ** 1 *** *** *** N ** 2 *** *** *** *** *** *** *** *** *** N ** 3这是社区 wiki，因此请随意更改我令人震惊的代数。
【讨论】：
Knuth 的估计器 [1],[2] 是一个point estimate，它以任意有限树中的节点数为目标，无需遍历所有节点，即使树不平衡。 Knuth 的估计器是无偏估计器的一个例子； Knuth 估计器的期望值将是树中的节点数。话虽如此，如果所讨论的树不平衡，Knuth 的估计量可能会有很大的差异，但在你的情况下，由于每个节点都会有大约 N 个子节点，我认为 Knuth 的估计量的方差应该不会太大。当您尝试测量执行蛮力搜索所需的时间时，此估算器特别有用。
对于以下函数，我们将假设所有树都表示为列表的列表。
例如，[] 表示具有单个节点的树，[[],[[],[]]] 将表示具有 5 个节点和 3 个叶子的树（树中的节点与左括号一一对应）。以下函数是用 GAP 语言编写的。
函数simpleestimate 给出一个输出，估计树tree 中的节点数。 simpleestimate 背后的想法是我们随机选择从树的根 x_0 到叶子 x_n 的路径 x_0,x_1,...,x_n。假设 x_i 有 a_i 个后继者。然后simpleestimate 将返回 1+a_1+a_1*a_2+...+a_1*a_2*...*a_n。
point:=tree; prod:=1; count:=1; list:=[];
while Length(point)>0 do prod:=prod*Length(point); count:=count+prod; point:=Random(point); od;
return count; end;
函数estimate 将简单地给出通过多次应用函数simpleestimate(tree) samplesize 给出的估计值的算术平均值。
estimate:=function(samplesize,tree) local count,i;
count:=0;
for i in [1..samplesize] do count:=count+simpleestimate(tree); od;
return Float(count/samplesize); end;
示例： simpleestimate([[[],[[],[]]],[[[],[]],[]]]); 返回 15 而
estimate(10000,[[[],[[],[]]],[[[],[]],[]]]); 返回 10.9608 （树实际上有 11 个节点）。
【讨论】：
如果您只知道树的深度，那么计算总大小的唯一选择就是遍历并计算它们。
【讨论】：