后缀树中的最大和最小节点数[关闭]

Question

后缀树的最大和最小节点数是多少？我该如何证明呢？

Answer 1

假设输入文本长度为N个字符，包含根节点和所有叶子节点的最小节点数为N+1，包括根节点和叶子节点的最大节点数为@987654325 @。

最小证明：每个后缀必须至少有一个叶子节点，并且有N后缀。不需要任何内部节点，例如：如果文本是唯一符号序列abc$，则没有分支，因此生成的后缀树中没有内部节点：

因此最小值为N 叶、0 内部节点和1 根节点，总和为N+1 节点。

最大证明：叶节点的数量永远不能大于N，因为叶节点是后缀结束的地方，并且不能超过N distinct长度为N 的字符串中的后缀。 （事实上​​，你总是有精确的N 不同的后缀，因此精确的N 叶节点。）根节点总是精确的1，所以问题是内部节点的最大数量是多少。每个内部节点都会在树中引入一个分支（因为后缀树的内部节点至少有 2 个子节点）。每个新的分支最终都必须导致至少有一个额外的叶子节点，所以如果你有K 内部节点，则必须至少有K+1 叶子节点，并且根节点的存在需要至少一个额外的叶子节点（除非树是空的）。但是叶子节点的数量以N为界，所以内部节点的最大数量以N-2为界。这正好产生N 叶、1 根，以及最多N-2 内部节点、2N-1。

要看到这不仅是一个理论上的上限，而且一些后缀树实际上达到了这个最大值，请考虑一个只有一个重复字符的字符串：'aaa$'。确认它的后缀树有 7 个节点（包括根和叶）：

总结： 显然，唯一真正的变量是内部节点的数量；对于所有后缀树，根和叶的数量恒定为1 和N，而内部节点的数量在0 和N-2 之间变化。