跳过列表的预期空间消耗

Question

插入n个元素后，跳过列表使用的预期空间是多少？

我预计在最坏的情况下，空间消耗可能会无限增长。

维基百科说“空间 O(n)”。

如何以一种或另一种方式证明这一点？

Answer 1

预期空间复杂度

跳过列表具有logn 层。跳过列表中的每个元素都出现在一个或多个层中。为了衡量跳过列表的预期空间复杂度，我们可以评估任意元素 x 出现的预期层数。

我们知道 x 有 100% 的几率只出现在最底层，有 50% 的几率同时出现在最底层和第 2 层，有 25% 的几率出现​​在最底层的 3 层，一个 12.5%出现在底部 4 层的机会，依此类推。

在数学上，我们可以表示 x 出现的预期层数如下...

Sum(i / 2^(i-1)) from i=1 to logn

...其中i 是x 可能出现的层数。

直观地，我们可以看到上述总和收敛到一个常数，因为分母的增长速度比分子快得多。您可以通过将方程代入 Wolfram Alpha 来验证这一点（对于非常大的 n 值，总和收敛到 4）。这意味着...

[Sum(i / 2^(i-1)) from i=1 to logn] = O(1)

因此，我们已经证明在任意跳过列表中存储任意元素平均需要恒定空间。要获得在跳过列表中存储 n 元素的空间复杂度，我们只需乘以 n。

n*O(1) = O(n)

因此，跳过列表具有线性预期空间复杂度。

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最坏情况下的空间复杂度

这实际上要容易得多。我们知道有logn 层和n 元素。在最坏的情况下，每个元素都在每一层中。因此，O(nlogn)。

Answer 2

根据this thesis，我发现它比维基百科更可靠，维基百科是错误的。概率跳过列表是Theta(nlogn) 最坏情况空间复杂度。

尽管平均而言 PSL 的表现相当不错， 在最坏的情况下，它的 Theta(n lg n) 空间和 Theta(n) 时间复杂度是 高得无法接受

最坏的情况不是无限的，因为您可以将自己限制在f(n) 的列表数量，其中f(n) = O(logn)，并在达到此高度时停止抛硬币。所以，如果你有f(n) 完整的行，你会得到O(nlogn) 的节点总数，因此这种情况下的空间复杂度是O(nlogn)，而不是O(n)。

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编辑：
如果您正在寻找预期的空间消耗，而不是问题中最初所述的最差，那么：
让我们将“列”表示为底部节点，并将所有节点表示为“向上”。

E(#nodes) = Sigma(E(#nodes_for_column_i)) (i in [1,n]) 

上面的等式是正确的，因为期望值是线性的。

E(#nodes_for_column_i) = 1 + 1/2 + ... + 1/n < 2（对于每个 i）。这是因为概率为 1 它有 1 个节点，当 p=1/2 时，每个节点都有一个额外的节点。当 p'=1/2 时，它们中的每一个都有一个额外的节点 (total p*p'=1/4) ,.... 因此我们可以得出：

E(#nodes) = n*E(#nodes_for_each_column) = n*(1+1/2+...+1/n) < 2n = O(n)

Answer 3

让我们有 N 个节点的确定性跳过列表。除了数据值，列表还包含：

第 1 级有 N 个指针，第 2 级有 N/2 个指针，第 3 级有 N/4 个指针，依此类推……

N + N/2 + N/4 + N/8 +..N/2^k 是几何级数之和，其极限是2N，所以最大内存消耗是N*SizeOf(Data) + 2*N*SizeOf(Pointer) = O(N)。

我没有考虑到层间链接，但它们的数量大约是指针数量。