我正在尝试了解变质现象，我已经阅读了 Inside F# 博客上的the Wikipedia article 和the series of the topic for F# 中的前几篇文章。
我知道这是折叠的泛化（即，将多个值的结构映射到一个值，包括将值列表映射到另一个列表）。而且我认为 fold-list 和 fold-tree 是一个典型的例子。
这是否可以显示为在 C# 中使用 LINQ 的 Aggregate 运算符或其他一些高阶方法来完成？
【问题讨论】：
标签： c# f# functional-programming catamorphism recursion-schemes
我一直在做更多的阅读，包括一篇关于 functional programming with catamorphisms ("bananas") 的 Micorosft 研究论文，似乎 catamorphism 只是指任何接受列表和通常将其分解为单个值 (IEnumerable<A> => B)，例如 Max()、Min()，在一般情况下，Aggregate() 都是列表的变态。
我之前的印象是它引用了一种创建可以概括不同折叠的函数的方法，以便它可以折叠树和列表。实际上可能还有这样的东西，可能是某种 functor 或 arrow，但现在这超出了我的理解水平。
【讨论】：
T Aggregate<T>(this IEnumerable<T> src, Func<T, T, T> f)。然而，更通用的B Fold<A>(this IEnumerable<A>, B init, Func<A, B, B> f) 在 C#/.NET 中默认不可用。
LINQ 的 Aggregate() 仅适用于 IEnumerables。 Catamorphisms 通常是指任意数据类型的折叠模式。所以Aggregate() 是IEnumerables FoldTree（下）是Trees（下）；两者都是各自数据类型的变态。
我将part 4 of the series 中的一些代码翻译成C#。代码如下。请注意，等效的 F# 使用三个小于字符（用于泛型类型参数注释），而此 C# 代码使用超过 60 个。这就是为什么没有人在 C# 中编写此类代码的证据 - 类型注释太多。我提供代码以防它帮助了解 C# 但不了解 F# 的人玩这个。但是 C# 中的代码非常密集，很难理解。
给定以下二叉树的定义：
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Windows;
using System.Windows.Controls;
using System.Windows.Input;
using System.Windows.Media;
using System.Windows.Shapes;
class Tree<T> // use null for Leaf
{
public T Data { get; private set; }
public Tree<T> Left { get; private set; }
public Tree<T> Right { get; private set; }
public Tree(T data, Tree<T> left, Tree<T> rright)
{
this.Data = data;
this.Left = left;
this.Right = right;
}
public static Tree<T> Node<T>(T data, Tree<T> left, Tree<T> right)
{
return new Tree<T>(data, left, right);
}
}
一个人可以折叠树木，例如测量两棵树是否有不同的节点：
class Tree
{
public static Tree<int> Tree7 =
Node(4, Node(2, Node(1, null, null), Node(3, null, null)),
Node(6, Node(5, null, null), Node(7, null, null)));
public static R XFoldTree<A, R>(Func<A, R, R, Tree<A>, R> nodeF, Func<Tree<A>, R> leafV, Tree<A> tree)
{
return Loop(nodeF, leafV, tree, x => x);
}
public static R Loop<A, R>(Func<A, R, R, Tree<A>, R> nodeF, Func<Tree<A>, R> leafV, Tree<A> t, Func<R, R> cont)
{
if (t == null)
return cont(leafV(t));
else
return Loop(nodeF, leafV, t.Left, lacc =>
Loop(nodeF, leafV, t.Right, racc =>
cont(nodeF(t.Data, lacc, racc, t))));
}
public static R FoldTree<A, R>(Func<A, R, R, R> nodeF, R leafV, Tree<A> tree)
{
return XFoldTree((x, l, r, _) => nodeF(x, l, r), _ => leafV, tree);
}
public static Func<Tree<A>, Tree<A>> XNode<A>(A x, Tree<A> l, Tree<A> r)
{
return (Tree<A> t) => x.Equals(t.Data) && l == t.Left && r == t.Right ? t : Node(x, l, r);
}
// DiffTree: Tree<'a> * Tree<'a> -> Tree<'a * bool>
// return second tree with extra bool
// the bool signifies whether the Node "ReferenceEquals" the first tree
public static Tree<KeyValuePair<A, bool>> DiffTree<A>(Tree<A> tree, Tree<A> tree2)
{
return XFoldTree((A x, Func<Tree<A>, Tree<KeyValuePair<A, bool>>> l, Func<Tree<A>, Tree<KeyValuePair<A, bool>>> r, Tree<A> t) => (Tree<A> t2) =>
Node(new KeyValuePair<A, bool>(t2.Data, object.ReferenceEquals(t, t2)),
l(t2.Left), r(t2.Right)),
x => y => null, tree)(tree2);
}
}
在第二个示例中，另一棵树的重建方式不同：
class Example
{
// original version recreates entire tree, yuck
public static Tree<int> Change5to0(Tree<int> tree)
{
return Tree.FoldTree((int x, Tree<int> l, Tree<int> r) => Tree.Node(x == 5 ? 0 : x, l, r), null, tree);
}
// here it is with XFold - same as original, only with Xs
public static Tree<int> XChange5to0(Tree<int> tree)
{
return Tree.XFoldTree((int x, Tree<int> l, Tree<int> r, Tree<int> orig) =>
Tree.XNode(x == 5 ? 0 : x, l, r)(orig), _ => null, tree);
}
}
在第三个例子中，折叠一棵树用于绘图：
class MyWPFWindow : Window
{
void Draw(Canvas canvas, Tree<KeyValuePair<int, bool>> tree)
{
// assumes canvas is normalized to 1.0 x 1.0
Tree.FoldTree((KeyValuePair<int, bool> kvp, Func<Transform, Transform> l, Func<Transform, Transform> r) => trans =>
{
// current node in top half, centered left-to-right
var tb = new TextBox();
tb.Width = 100.0;
tb.Height = 100.0;
tb.FontSize = 70.0;
// the tree is a "diff tree" where the bool represents
// "ReferenceEquals" differences, so color diffs Red
tb.Foreground = (kvp.Value ? Brushes.Black : Brushes.Red);
tb.HorizontalContentAlignment = HorizontalAlignment.Center;
tb.VerticalContentAlignment = VerticalAlignment.Center;
tb.RenderTransform = AddT(trans, TranslateT(0.25, 0.0, ScaleT(0.005, 0.005, new TransformGroup())));
tb.Text = kvp.Key.ToString();
canvas.Children.Add(tb);
// left child in bottom-left quadrant
l(AddT(trans, TranslateT(0.0, 0.5, ScaleT(0.5, 0.5, new TransformGroup()))));
// right child in bottom-right quadrant
r(AddT(trans, TranslateT(0.5, 0.5, ScaleT(0.5, 0.5, new TransformGroup()))));
return null;
}, _ => null, tree)(new TransformGroup());
}
public MyWPFWindow(Tree<KeyValuePair<int, bool>> tree)
{
var canvas = new Canvas();
canvas.Width=1.0;
canvas.Height=1.0;
canvas.Background = Brushes.Blue;
canvas.LayoutTransform=new ScaleTransform(200.0, 200.0);
Draw(canvas, tree);
this.Content = canvas;
this.Title = "MyWPFWindow";
this.SizeToContent = SizeToContent.WidthAndHeight;
}
TransformGroup AddT(Transform t, TransformGroup tg) { tg.Children.Add(t); return tg; }
TransformGroup ScaleT(double x, double y, TransformGroup tg) { tg.Children.Add(new ScaleTransform(x,y)); return tg; }
TransformGroup TranslateT(double x, double y, TransformGroup tg) { tg.Children.Add(new TranslateTransform(x,y)); return tg; }
[STAThread]
static void Main(string[] args)
{
var app = new Application();
//app.Run(new MyWPFWindow(Tree.DiffTree(Tree.Tree7,Example.Change5to0(Tree.Tree7))));
app.Run(new MyWPFWindow(Tree.DiffTree(Tree.Tree7, Example.XChange5to0(Tree.Tree7))));
}
}
【讨论】：
Tree 的代码只是加强了这种情况，如此难以理解。但是然后你用 F# 对它们进行编码，单个一次性实现有 DRY 的臭味（不要重复你自己），并且共性就在那里，很明显，并且语言让你捕捉到共性的本质。就像破解一样，你想知道你一直缺少哪些其他抽象。
我知道这是一个 折叠的泛化（即映射 多值对一的结构 值，包括一个值列表 另一个列表）。
我不会说一个值。它将它映射到另一个结构中。
也许可以举个例子来说明一下。让我们说一个列表的总和。
foldr (\x -> \y -> x + y) 0 [1,2,3,4,5]
现在这将减少到 15 个。 但实际上，它可以被视为映射到一个纯粹的句法结构 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 0。 只是编程语言（在上面的例子中是haskell）知道如何将上面的句法结构减少到15。
基本上，变态将一个数据构造函数替换为另一个数据构造函数。在上述列表的情况下，
[1,2,3,4,5] = 1:2:3:4:5:[] （: 是 cons 运算符，[] 是 nil 元素） 上面的 catamorphism 替换为：用 + 和 [] 用 0。
它可以推广到任何递归数据类型。
【讨论】：
Brian 在他的博客中发表了一系列精彩的文章。 Channel9 也有一个nice video。 .Aggregate() 没有 LINQ 语法糖，所以它是否具有 LINQ Aggregate 方法的定义是否重要？想法当然是一样的。 折叠树...首先我们需要一个节点...也许可以使用元组，但这更清楚：
public class Node<TData, TLeft, TRight>
{
public TLeft Left { get; private set; }
public TRight Right { get; private set; }
public TData Data { get; private set; }
public Node(TData x, TLeft l, TRight r){ Data = x; Left = l; Right = r; }
}
然后，在 C# 中我们可以创建一个递归类型，即使这很不寻常：
public class Tree<T> : Node</* data: */ T, /* left: */ Tree<T>, /* right: */ Tree<T>>
{
// Normal node:
public Tree(T data, Tree<T> left, Tree<T> right): base(data, left, right){}
// No children:
public Tree(T data) : base(data, null, null) { }
}
现在，我将引用 Brian 的一些代码，稍作 LINQ 风格的修改：
...
public static class TreeExtensions
{
private static R Loop<A, R>(Func<A, R, R, Tree<A>, R> nodeF, Func<Tree<A>, R> leafV, Tree<A> t, Func<R, R> cont)
{
if (t == null) return cont(leafV(t));
return Loop(nodeF, leafV, t.Left, lacc =>
Loop(nodeF, leafV, t.Right, racc =>
cont(nodeF(t.Data, lacc, racc, t))));
}
public static R XAggregateTree<A, R>(this Tree<A> tree, Func<A, R, R, Tree<A>, R> nodeF, Func<Tree<A>, R> leafV)
{
return Loop(nodeF, leafV, tree, x => x);
}
public static R Aggregate<A, R>(this Tree<A> tree, Func<A, R, R, R> nodeF, R leafV)
{
return tree.XAggregateTree((x, l, r, _) => nodeF(x, l, r), _ => leafV);
}
}
现在，用法很C#风格：
[TestMethod] // or Console Application:
static void Main(string[] args)
{
// This is our tree:
// 4
// 2 6
// 1 3 5 7
var tree7 = new Tree<int>(4, new Tree<int>(2, new Tree<int>(1), new Tree<int>(3)),
new Tree<int>(6, new Tree<int>(5), new Tree<int>(7)));
var sumTree = tree7.Aggregate((x, l, r) => x + l + r, 0);
Console.WriteLine(sumTree); // 28
Console.ReadLine();
var inOrder = tree7.Aggregate((x, l, r) =>
{
var tmp = new List<int>(l) {x};
tmp.AddRange(r);
return tmp;
}, new List<int>());
inOrder.ForEach(Console.WriteLine); // 1 2 3 4 5 6 7
Console.ReadLine();
var heightTree = tree7.Aggregate((_, l, r) => 1 + (l>r?l:r), 0);
Console.WriteLine(heightTree); // 3
Console.ReadLine();
}
我还是更喜欢 F#。
【讨论】：
Brian 在第一段中的回答是正确的。但他的代码示例并没有真正反映如何以 C# 风格解决类似问题。考虑一个简单的类node：
class Node {
public Node Left;
public Node Right;
public int value;
public Node(int v = 0, Node left = null, Node right = null) {
value = v;
Left = left;
Right = right;
}
}
这样我们可以在 main 中创建一个树：
var Tree =
new Node(4,
new Node(2,
new Node(1),
new Node(3)
),
new Node(6,
new Node(5),
new Node(7)
)
);
我们在Node的命名空间中定义了一个通用的折叠函数：
public static R fold<R>(
Func<int, R, R, R> combine,
R leaf_value,
Node tree) {
if (tree == null) return leaf_value;
return
combine(
tree.value,
fold(combine, leaf_value, tree.Left),
fold(combine, leaf_value, tree.Right)
);
}
对于catamorphisms，我们应该指定数据的状态，节点可以是空的，或者有孩子。通用参数决定了我们在这两种情况下做什么。请注意，迭代策略（在本例中为递归）隐藏在 fold 函数中。
现在不用写了：
public static int Sum_Tree(Node tree){
if (tree == null) return 0;
var accumulated = tree.value;
accumulated += Sum_Tree(tree.Left);
accumulated += Sum_Tree(tree.Right);
return accumulated;
}
我们可以写
public static int sum_tree_fold(Node tree) {
return Node.fold(
(x, l, r) => x + l + r,
0,
tree
);
}
优雅、简单、类型检查、可维护等。易于使用Console.WriteLine(Node.Sum_Tree(Tree));。
添加新功能很容易：
public static List<int> In_Order_fold(Node tree) {
return Node.fold(
(x, l, r) => {
var tree_list = new List<int>();
tree_list.Add(x);
tree_list.InsertRange(0, l);
tree_list.AddRange(r);
return tree_list;
},
new List<int>(),
tree
);
}
public static int Height_fold(Node tree) {
return Node.fold(
(x, l, r) => 1 + Math.Max(l, r),
0,
tree
);
}
F# 在 In_Order_fold 的简洁性类别中获胜，但当该语言提供用于构造和使用列表的专用运算符时，这是意料之中的。
C# 和 F# 之间的巨大差异似乎是由于 F# 使用闭包作为隐式数据结构来触发尾调用优化。 Brian 的答案中的示例还考虑了 F# 中的优化，以避开重建树。我不确定 C# 是否支持尾调用优化，也许 In_Order_fold 可以写得更好，但是在讨论 C# 在处理这些变形时的表现力时，这些点都不相关。
在语言之间翻译代码时，你需要了解该技术的核心思想，然后根据语言的原语来实现该思想。
也许现在您可以说服您的 C# 同事更认真地对待折叠。
【讨论】：