对映对数的上限是多少？答案

【问题标题】：What is the upper bound on the number of antipodal pairs?对映对数的上限是多少？
【发布时间】：2014-11-20 14:19:44
【问题描述】：

对映对是一对顶点 x,y，这样我们可以通过顶点 x 和 y 绘制凸包 H 的平行切线，而不与 H 相交。

我找到了很多算法来找到这样的配对，但我无法推导出可能配对的上限。

有人能给出 n 个数的凸包的上限并证明吗？

【问题讨论】：

参见 Preparata & Shamos 的 Computational Geometry，定理 4.18。当您围绕多边形旋转切线时，它会依次接触每个顶点（N 次移动）；同时，对映顶点也在轮廓上前进（N次移动，没有回溯）。当没有边平行时，正好有 N 对。平行边（最多 N/2 对），对跖对数不超过 3N/2。

【解决方案1】：

参见 Preparata & Shamos 的 Computational Geometry，定理 4.18。

当您围绕多边形旋转切线时，它会依次接触每个顶点（N 移动）；同时，对映顶点也在轮廓上前进（N移动，没有回溯）。

当没有平行边时，恰好有N 对（一侧的移动与另一侧的移动不重合）。当有平行边时，可以多出一对，总数为N + P，其中P是平行边对的数量，最多为N/2。

【讨论】：

我找不到这本书。您能否提一下这将非常有帮助的证明。谢谢
不，文本太长。但原理很明显。
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我声称仅通过案例 2 和 3 来枚举这些对就足够了（案例 1 没有额外的对）。案例 2 给出了两对，案例 4 给出了其中的四对。但是通过删除重复项，您将分别得到 1 对和 2 对。总计(N-P)+2P = N+P。