具有已知有序边界点的弱简单多边形的有效三角剖分

Question

我有一个点集 P，它表示平面多边形的（有序）边界点，内部没有任何点。多边形可能是凹的，并且至少为weakly simple。可以将所有多边形约束为简单。我的目标是比 O(n^2) 更快地对平面多边形进行三角剖分。

集合 P 的大小从几百点到 1-2 百万不等。由于这些多边形是如何生成的特定原因，很难简单地进行下采样并获得更小的集合 P。

我在 Python 中工作——对于我使用哪些软件包或它们拥有什么许可证，我真的没有任何限制。

我尝试过的方法

我的“稳定”软件是围绕earclipping algorithm 构建的。这对于具有数百或数千个点的小示例非常有效，但对于大型多边形来说运行时间过长。它没有利用边界和边界排序的知识（而且很挑剔，会产生非常丑陋的网格）。

最近我尝试使用Triangle，通过一些python bindings，以及受约束的德劳内算法。即使在提供边界边时，在凹形上运行的约束 Delaunay 也会返回多边形边界腔内的三角形。注意：我不需要（准）Delaunay 三角剖分，我正在查看Triangle，因为它紧凑、广受好评且速度快。 凹面填充的一个简单解决方案是检查生成的 tris 是否在边界内（例如，计算每个 tris 的质心并运行多边形中的点算法）。然而，简单的多边形点算法（如光线投射）在 O(n^2) 时间内运行，因为对于 P 中的 n 个点，有 n 个边界边，必须检查 ~n 个生成的 tris。

问题的具体形式

1. 是否有利用我高度具体的案例的算法（不同于耳夹或约束 delaunay），或者
2. 有没有更有效的方法来检查生成的 tris 是否在我的边界内？

根据我在下面链接到的其他一些 SO 帖子，听起来Triangle 满足了上述一项或两项要求，而我根本没有充分利用它（可能也是 python 绑定的限制） ？）。我对 C 的功能上不存在知识；到目前为止，挖掘Triangle 代码毫无结果。

我看过的类似的 SO 问题并没有完全解决我的问题：

• Triangulating a planar point set with known Boundary
• Concave Mesh Triangulation With Known Boundary
• Triangulate a set of points with a concave domain

Answer 1

如果你对 Triangle 不满意，也许你可以试试CGAL python bindings: https://github.com/CGAL/cgal-swig-bindings

它们在 test.pypi.org 上以预编译包的形式提供：https://test.pypi.org/project/cgal/

Answer 2

对此我有 2 条建议：

• 您可以找到一种算法来执行甜三角测量，但不会比O(n**2) 快
• 您可以更快地找到算法O(n*log(n))，但它总是（根据我的经验）以三角测量的质量为代价

当生成连接仅来自表面轮廓的点的三角形时，通常将其命名为贪婪三角剖分。

1。对于最快的三角测量

有两种算法（据我所知）：

• 直接三角测量的人
• 将给定的非凸轮廓分割成较小的凸轮廓（或至少是单调的），然后才对它们进行三角剖分（这很容易，因为这是凸轮廓）

两者都基于所谓的sweepline algorithms，简而言之：

• 在你的飞机上选择一个方向（不管它是什么）
• 根据该方向对您的点进行排序
• 按照它们来自该排序列表的顺序考虑匹配点

[ ] - 一个publication for the 1st kind

[ ] - this wikipedia page 也很有用。

2。最好的三角测量

有多种方法，但我知道的最好的方法是通过缩小轮廓进行三角测量：

• 选择一个点，您将放置一个三角形及其直接邻居
• 创建一个三角形并从轮廓中删除最新的点
• 再做一次，直到没有更多的轮廓
• 有一些启发式方法可以知道每次迭代要优先制作哪个三角形

这是在madcad.triangulation 中所做的，其复杂度是O(n*k)，其中 k = 凹点数

from madcad.triangulation import *

outline = Wire([ ... your points ... ])

triangulation(outline)  # this is triangulating the outline, it even works with holes in the surface
triangulation_outline(outline)  # this function is a subpart of the latest, working only on outlines with no holes

结论

我取决于你需要什么 :) 我个人在大多数用例中都放弃了最快的三角剖分，因为在平滑轮廓的情况下三角形的质量极差。

如果您需要对生成的网格执行一些计算，那么非常细的三角形会导致使用浮点数显着降低精度。