计算 3D 平面多边形的质心答案

【问题标题】：Compute the centroid of a 3D planar polygon计算 3D 平面多边形的质心
【发布时间】：2011-01-22 07:00:56
【问题描述】：

这是与one here 类似的问题。

给定定义表面的 3D 坐标列表（Point3D1、Point3D2、Point3D3 等），如何计算表面的质心？

在 2D 中计算 is given by the following formula:

3D 模拟呢？

【问题讨论】：

面积和质心是非常不同的东西。你要哪个？
我想要centroid，错字已修复
这些点如何定义表面？如果所有点都在曲面的边界上（如目前所有答案所假设的那样），并且它们不一定都在同一平面上，则未定义曲面。如果他们定义了三角测量，那就完全不同了。或者也许你只有一个点云？这是什么？
@AB：所有点都必须定义曲面；它们必须位于同一平面上。这是假设。
那么下面的两个答案都很好。

标签： c# math computational-geometry

【解决方案1】：

如果它是一个平面，您可以转换到该平面的局部坐标系，使用您提供的公式计算质心，然后再转换回来以获取其在 3D 空间中的坐标。

【讨论】：

除了坐标变换，还有直接的方法吗？如果不是，我将不胜感激有关如何转换坐标的公式。

【解决方案2】：

令点逆时针为v₀, v₁, ..., v_N，其中v_{i = (x_i, y_i, z_i).}

然后是三元组 (v₀, v₁, v₂), (v₀, v ₂, v₃), ..., (v₀, v_i, v_{i +1}), ..., (v₀, v_N-1, v_N) 形成 N-1 个三角形创建多边形。

每个三角形的面积是| (v_i - v₀) × (v_i+1 - v₀) | ÷ 2，其中 × 是叉积，| · |是向量长度。

您可能需要将该区域设为负值以补偿凹入部分。一个简单的检查是计算 (v_i - v₀) × (v_i+1 - v_{0) · (v₁ - v₀) × (v₂ - v₀)乙>。该区域应与结果具有相同的符号。}

由于在平行投影下二维图形的面积比是恒定的，您可能希望选择一个不平行于平面的单位向量（例如 z），处理 (v_i - v₀) × (v_i+1 - v₀) · z 作为面积。有了这个，您不需要执行昂贵的平方根，并且会自动处理符号检查。

每个三角形的质心为(v₀ + v_i + v_i+1) ÷ 3.

因此，假设密度均匀，整个多边形的质心是，

                1       N-1
centroid = ——————————    ∑  ( centroid-of-triangle-i × area-of-triangle-i )
           total-area   i=1

(对于 ≥ 4D 的维度，需要用 A_i = ½ |v_i−v₀| |v 计算面积_i+1−v₀| sin θ_i，其中 cos θ_i = (v_i-v₀)·(v_i+1-v₀).)

【讨论】：

由于在平行投影下二维图形的面积比是恒定的，你可能想选择一个不平行于平面的单位向量（例如 z），处理 (vi − v0) × (vi+1 − v0) · z 为面积。可以在这部分更明确吗？
以z = (v1-v0) × (v2-v0)为例。
@KennyTM，我认为你的表述很好。但是有没有办法消除对v0 的特殊依赖？很像上述 2D 质心计算的公式。我确信通过一些调整是可以做到的。
@Ngu：任何 v0 都可以。或者你可以使用 tom10 的解决方案 (stackoverflow.com/questions/2355931/…)
@KennyTM，我的意思是，我不希望任何v0 或其他下标（例如1、2、3）出现在我的euqation 中。或者，换句话说，方程必须只涉及vi、vi+1、vi-1 等。没有特殊的v0、v1 或v2。有没有可能构造出这样的方程？

【解决方案3】：

只需使用你有两次的方程式，但第二次将 z 换成 y。

即计算两个投影的质心，一个在x-y平面上，另一个在x-z平面上。投影的质心将是实际质心的投影，因此答案将是您从中找到的 x、y 和 z 值这两个计算。

更明确地说：如果您的点是 (x1, y1, z1), (x2, y2, z2),... ，要获得 xy 质心 (Cx, Cy)，请使用 (x1, y1), (x2, y2),... 并获得 xz 质心， (Cx, Cz) 使用点 (x1, z1), (x2, z2),.... - 只需进行第二次计算使用相同的 2D 公式，将 z 值视为方程中的 y。然后您的 3D 质心将是 (Cx, Cy, Cz)。只要您的表面是平坦的并且不平行于 x-y、x-z 或 y-z 平面（但如果平行，则它只是二维方程），这将起作用。

【讨论】：

@tom10，可以更明确一点吗？
好的，添加了一段给出更明确的描述。是说你需要知道的吗？
@tom10，在这种情况下有两组Cx。选择哪一个？还是我们只取平均值？
Cx 的两个计算应该给出相同的结果。