给定允许触摸多边形的坐标，计算圆形是否适合多边形（三角形/五边形）？ [关闭]

Question

给定一个圆心 (X_c,Y_c) 和半径 r 以及在数组内部具有顶点的多边形，使得 顶点[] = { (X_v1, Y_v1) , ... , (X_vn, Y_vn) } 其中 n 是顶点数。

我希望能够确定圆是否在多边形内。我假设（并且可以安全地假设）多边形中没有孔。

我要检查的唯一多边形是三角形和五边形。

到目前为止，我所做的是计算圆心是否在多边形内部。这个函数叫做isInside()。

如何检查圆是否完全在我正在检查的多边形内？摸一下就好了。

更具体地说，我在计算圆和多边形的关系时遇到了问题，这对于解决这个问题至关重要。我了解如何查找圆心是否在多边形内，但如果整个圆包含在多边形中，则不知道。

任何帮助:)

Answer 1

以下假设您已经知道the center of the circle is inside the polygon。您需要检查几件事，因为您的定义触摸顶点是可以的添加了一些极端情况。此解决方案也适用于凹多边形。

早期检查

要使圆完全在多边形内，我们需要所有边都在在圆之外。尤其是这样可以确保多边形不完全在圆内。

给定半径为r的圆，以c为中心，边e₀，e_{1 sub>, ..., en} ，因此一个必要条件是对于所有 i ：

d(c, e_i) >= r

其中 d 是euclidian distance。

如果以上对任何边都不成立，那么多边形和圆之间存在交点，或者多边形本身完全在圆内。

圆是否与多边形相交

最后的检查是圆在里面的必要条件，虽然它是不充分的，因为可能所有的边都在圆的外面，但圆仍然从一个顶点漏出。

让我们首先记住一些我们需要的公式。

以(x₀, y₀)为圆心的半径为r的圆的方程： p>

(x - x₀)² + (y - y₀)² = r²

因此通过求解找到与线y = ax + b的交点：

(x - x₀)² + (ax + b - y₀)² = r ²

这不过是一个二次方程，可以改写为：

(a² + 1)x² + (2ab - 2ay₀ - 2x₀)x + (x₀ + (b - y₀)² - r²) = 0

您可以使用每个顶点的quadratic formula 来解决这个问题。那么你有三种可能。

1) 没有解决办法

这表示与该顶点不存在交集。使用高级语言，您可以捕获某种MathError 异常来检测它。否则，您可以在数学上检查 discriminant 的符号，因为如果它是负数，就会发生这种情况。

(2ab - 2ay₀ - 2x₀)² - 4 (a² + 1) ( x₀ + (b - y₀)² - r²)

2) 有一个独特的解决方案

如果方程有一个解，即两个解相同，则圆可能会接触，但不会泄漏到边缘。你说这仍然被认为是 inside 在你的情况下。

从数学上讲，这发生在判别式为零时。

(2ab - 2ay₀ - 2x₀)² - 4 (a² + 1) ( x₀ + (b - y₀)² - r²) = 0

3) 存在两种解决方案

如果存在两种解决方案，比如 x_i 和 x_j，那么可能有 是一个重叠。虽然，这在凹多边形的情况下是不确定的。

要检查是否确实存在重叠，您必须检查相交是否发生在您的线段上。

这很简单。假设您的顶点位于 (x₁, y₁) 和 (x₂ 点之间， y₂)，那么有一个交集，如果一个仅当...

x₁i 2

或者...

x₁j 2

在任何其他情况下，相交发生在顶点的延续上，而不是顶点本身。

如果上述条件之一成立，那么只有那时你才知道你的圆在多边形之外泄漏。

最终角盒：凹边

如前所述，触摸多边形是可以的，因此上面没有涵盖最后一个角落：触摸凹边。

凹边是内角大于180°的边。因此，只要与多边形有交集，如果交集发生在凹边上，您就想忽略它。

以上所有方法都适用于任何多边形，不仅是三角形和六边形。

Answer 2

方法一：简单但不精确

您已经实现了一个算法来检查一个点是否在多边形内。那么，为什么不将圆近似为等边多边形呢？您只需检查圆的 16 或 64 或 256 个点。

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方法 2：更复杂，但很精确

1. 找到多边形每一边的法向量（您可以轻松计算）。
2. 通过这个法向量求圆心到边的距离（线相交也是一项简单的任务）。
3. 如果距离小于圆的半径，则圆在多边形之外。
4. 否则，如果每条边到点的法线距离大于或等于圆的半径，则圆在里面。