寻找 BDD 对涉及 x,y 概念的问题的应用

【问题标题】：Looking for applications of BDDs to problems involving x,y concept寻找 BDD 对涉及 x,y 概念的问题的应用
【发布时间】：2020-11-29 08:55:35
【问题描述】：

我正在查看applications of BDD 以确定是否可以在那里实现 x,y 概念。

让我解释一下。

假设我有 z 的东西要分布在 x,y 坐标平面上。约束是：

  • 所有 z 项都必须放置在 x,y 坐标平面中。
  • 某些 z 项之间必须保持一定距离。

我认为整数线性规划可以解决这个问题。例如，通过一组方程，我可以表示上述约束并进行线性规划以求解确切位置。

但我要问的是 BDD 是否可以帮助解决这个问题？

换句话说，二元决策图可以表示 x,y 坐标吗？我可以用布尔函数（相当于上面的方程组）来表示上述约束，并且可以操纵 BDD 来整理出上述精确位置的约束，就像线性规划？

我没有任何具体的例子可以展示，但我认为用二进制表示等效的 x,y 坐标是一个起点？

【问题讨论】：

  • 请edit您的问题包含更详细的描述和您遇到的问题/输入的详细示例。此外，还不清楚 BDD 是如何放入其中的，以及您希望如何从 BDD 中的布尔函数到平面上的坐标。
  • 我很抱歉。我没有任何具体的例子。尽管如此，我还是编辑了这个问题。我要问的是（我认为）是否有办法让 n 位字符串 (0,0,0,0) 对应于 x,y 坐标平面？
  • 请参阅：Why is “Is it possible to…” a poorly worded question?.
  • BDD 对解决 8 皇后难题非常有效（参见 stackoverflow.com/questions/26489260/… ）。也许你在那里有一些想法。您应该阅读安徒生的论文，其中一个答案中提到了。
  • 非常感谢。这正是我需要知道的。我还可以问更多关于问题中的第二个要点，如果我想玩距离，即 z 项目的间距，布尔表达式可以捕捉到吗？我个人不这么认为，只是想听像你这样更有经验的人。

标签： linear-programming coordinate-systems binary-decision-diagram


【解决方案1】：

是的，可以使用二元决策图对平面上给定的整数值放置问题进行编码，从而计算答案（作为令人满意的分配）。例如，使用 Python 包 omega（它使用 Python 包 dd 进行 BDD 计算）：

from omega.symbolic import fol

fol = _fol.Context()
# Register integer-valued variables, with ranges of representation using BDDs
fol.declare(x1=(0, 11), y1=(0, 11), x2=(0, 11), y2=(0, 11))
# Encode the problem:
#
# Two points on a Euclidean plane are represented by their Cartesian coordinates
# `x1, y1` and `x2, y2`.
# Each point is in the square mesh `x \in 1..10 /\ y \in 1..10`.
#
# Note that the variables are declared with larger domains,
# in order to ensure that this boundary constraint is representable with the
# resulting BDDs.
#
# The distance between the two points should be the square root of 10.
expr = r'''
       (x1 >= 1) /\ (x1 <= 10)
    /\ (x2 >= 1) /\ (x2 <= 10)
    /\ (y1 >= 1) /\ (y1 <= 10)
    /\ (y2 >= 1) /\ (y1 <= 10)
    /\ (x1 - x2) * (x1 - x2) + (y1 - y2) * (y1 - y2) = 10
    '''
# Solve the problem, by adding creating a BDD for it
u = fol.add_expr(expr)
# Enumerate all solutions (i.e., all satisfying assignments)
# These are all the pairs of points within the box mesh x \in 1..10 /\ y \in 1..10
# that have a distance equal to the square root of 10.
assignments = list(fol.pick_iter(u))
print(assignments)

使用具有上述距离约束的 BDD 会导致 BDD 的变量数量呈指数级增长。原因是表示乘法会导致 BDD 呈指数级增长，正如 https://doi.org/10.1109/12.73590 所证明的那样。

如果约束不是点之间的距离，而是沿每个轴的距离（即，对x1 - x2 或y1 - y2 的绝对值的不等式或等式约束，或同时在两者上），则避免了指数复杂性。

以上解决了网格上的放置问题。这是一个离散的放置问题。连续放置问题不能用二元决策图解决，因为它需要浮点运算。

上面的程序打印：

[{'x1': 4, 'y1': 5, 'x2': 1, 'y2': 4},
 {'x1': 4, 'y1': 9, 'x2': 1, 'y2': 8},
 {'x1': 4, 'y1': 3, 'x2': 1, 'y2': 4},
 {'x1': 4, 'y1': 7, 'x2': 1, 'y2': 8},
 {'x1': 4, 'y1': 1, 'x2': 1, 'y2': 2},
 {'x1': 4, 'y1': 5, 'x2': 1, 'y2': 6},
 {'x1': 4, 'y1': 9, 'x2': 1, 'y2': 10},
 {'x1': 4, 'y1': 3, 'x2': 1, 'y2': 2},
 {'x1': 4, 'y1': 7, 'x2': 1, 'y2': 6},
 {'x1': 4, 'y1': 4, 'x2': 1, 'y2': 5},
 {'x1': 4, 'y1': 8, 'x2': 1, 'y2': 9},
 {'x1': 4, 'y1': 2, 'x2': 1, 'y2': 1},
 {'x1': 4, 'y1': 6, 'x2': 1, 'y2': 5},
 {'x1': 4, 'y1': 10, 'x2': 1, 'y2': 9},
 {'x1': 4, 'y1': 4, 'x2': 1, 'y2': 3},
 {'x1': 4, 'y1': 8, 'x2': 1, 'y2': 7},
 {'x1': 4, 'y1': 2, 'x2': 1, 'y2': 3},
 {'x1': 4, 'y1': 6, 'x2': 1, 'y2': 7},
 {'x1': 4, 'y1': 10, 'x2': 1, 'y2': 11},
 {'x1': 4, 'y1': 1, 'x2': 5, 'y2': 4},
 {'x1': 4, 'y1': 5, 'x2': 5, 'y2': 8},
 {'x1': 4, 'y1': 9, 'x2': 5, 'y2': 12},
 {'x1': 4, 'y1': 7, 'x2': 5, 'y2': 4},
 {'x1': 4, 'y1': 5, 'x2': 5, 'y2': 2},
 {'x1': 4, 'y1': 9, 'x2': 5, 'y2': 6},
 {'x1': 4, 'y1': 3, 'x2': 5, 'y2': 6},
 {'x1': 4, 'y1': 7, 'x2': 5, 'y2': 10},
 {'x1': 4, 'y1': 4, 'x2': 5, 'y2': 1},
 {'x1': 4, 'y1': 8, 'x2': 5, 'y2': 5},
 {'x1': 4, 'y1': 2, 'x2': 5, 'y2': 5},
 {'x1': 4, 'y1': 6, 'x2': 5, 'y2': 9},
 {'x1': 4, 'y1': 10, 'x2': 5, 'y2': 13},
 {'x1': 4, 'y1': 4, 'x2': 5, 'y2': 7},
 {'x1': 4, 'y1': 8, 'x2': 5, 'y2': 11},
 {'x1': 4, 'y1': 6, 'x2': 5, 'y2': 3},
 {'x1': 4, 'y1': 10, 'x2': 5, 'y2': 7},
 {'x1': 2, 'y1': 1, 'x2': 1, 'y2': 4},
 {'x1': 2, 'y1': 5, 'x2': 1, 'y2': 8},
 {'x1': 2, 'y1': 9, 'x2': 1, 'y2': 12},
 {'x1': 2, 'y1': 7, 'x2': 1, 'y2': 4},
 {'x1': 2, 'y1': 5, 'x2': 1, 'y2': 2},
 {'x1': 2, 'y1': 9, 'x2': 1, 'y2': 6},
 {'x1': 2, 'y1': 3, 'x2': 1, 'y2': 6},
 {'x1': 2, 'y1': 7, 'x2': 1, 'y2': 10},
 {'x1': 2, 'y1': 4, 'x2': 1, 'y2': 1},
 {'x1': 2, 'y1': 8, 'x2': 1, 'y2': 5},
 {'x1': 2, 'y1': 2, 'x2': 1, 'y2': 5},
 {'x1': 2, 'y1': 6, 'x2': 1, 'y2': 9},
 {'x1': 2, 'y1': 10, 'x2': 1, 'y2': 13},
 {'x1': 2, 'y1': 4, 'x2': 1, 'y2': 7},
 {'x1': 2, 'y1': 8, 'x2': 1, 'y2': 11},
 {'x1': 2, 'y1': 6, 'x2': 1, 'y2': 3},
 {'x1': 2, 'y1': 10, 'x2': 1, 'y2': 7},
 {'x1': 2, 'y1': 5, 'x2': 5, 'y2': 4},
 {'x1': 2, 'y1': 9, 'x2': 5, 'y2': 8},
 {'x1': 2, 'y1': 3, 'x2': 5, 'y2': 4},
 {'x1': 2, 'y1': 7, 'x2': 5, 'y2': 8},
 {'x1': 2, 'y1': 1, 'x2': 5, 'y2': 2},
 {'x1': 2, 'y1': 5, 'x2': 5, 'y2': 6},
 {'x1': 2, 'y1': 9, 'x2': 5, 'y2': 10},
 {'x1': 2, 'y1': 3, 'x2': 5, 'y2': 2},
 {'x1': 2, 'y1': 7, 'x2': 5, 'y2': 6},
 {'x1': 2, 'y1': 4, 'x2': 5, 'y2': 5},
 {'x1': 2, 'y1': 8, 'x2': 5, 'y2': 9},
 {'x1': 2, 'y1': 2, 'x2': 5, 'y2': 1},
 {'x1': 2, 'y1': 6, 'x2': 5, 'y2': 5},
 {'x1': 2, 'y1': 10, 'x2': 5, 'y2': 9},
 {'x1': 2, 'y1': 4, 'x2': 5, 'y2': 3},
 {'x1': 2, 'y1': 8, 'x2': 5, 'y2': 7},
 {'x1': 2, 'y1': 2, 'x2': 5, 'y2': 3},
 {'x1': 2, 'y1': 6, 'x2': 5, 'y2': 7},
 {'x1': 2, 'y1': 10, 'x2': 5, 'y2': 11},
 {'x1': 6, 'y1': 1, 'x2': 5, 'y2': 4},
 {'x1': 6, 'y1': 5, 'x2': 5, 'y2': 8},
 {'x1': 6, 'y1': 9, 'x2': 5, 'y2': 12},
 {'x1': 6, 'y1': 7, 'x2': 5, 'y2': 4},
 {'x1': 6, 'y1': 5, 'x2': 5, 'y2': 2},
 {'x1': 6, 'y1': 9, 'x2': 5, 'y2': 6},
 {'x1': 6, 'y1': 3, 'x2': 5, 'y2': 6},
 {'x1': 6, 'y1': 7, 'x2': 5, 'y2': 10},
 {'x1': 6, 'y1': 4, 'x2': 5, 'y2': 1},
 {'x1': 6, 'y1': 8, 'x2': 5, 'y2': 5},
 {'x1': 6, 'y1': 2, 'x2': 5, 'y2': 5},
 {'x1': 6, 'y1': 6, 'x2': 5, 'y2': 9},
 {'x1': 6, 'y1': 10, 'x2': 5, 'y2': 13},
 {'x1': 6, 'y1': 4, 'x2': 5, 'y2': 7},
 {'x1': 6, 'y1': 8, 'x2': 5, 'y2': 11},
 {'x1': 6, 'y1': 6, 'x2': 5, 'y2': 3},
 {'x1': 6, 'y1': 10, 'x2': 5, 'y2': 7},
 {'x1': 4, 'y1': 1, 'x2': 3, 'y2': 4},
 {'x1': 4, 'y1': 5, 'x2': 3, 'y2': 8},
 {'x1': 4, 'y1': 9, 'x2': 3, 'y2': 12},
 {'x1': 4, 'y1': 7, 'x2': 3, 'y2': 4},
 {'x1': 4, 'y1': 5, 'x2': 3, 'y2': 2},
 {'x1': 4, 'y1': 9, 'x2': 3, 'y2': 6},
 {'x1': 4, 'y1': 3, 'x2': 3, 'y2': 6},
 {'x1': 4, 'y1': 7, 'x2': 3, 'y2': 10},
 {'x1': 4, 'y1': 4, 'x2': 3, 'y2': 1},
 {'x1': 4, 'y1': 8, 'x2': 3, 'y2': 5},
 {'x1': 4, 'y1': 2, 'x2': 3, 'y2': 5},
 {'x1': 4, 'y1': 6, 'x2': 3, 'y2': 9},
 {'x1': 4, 'y1': 10, 'x2': 3, 'y2': 13},
 {'x1': 4, 'y1': 4, 'x2': 3, 'y2': 7},
 {'x1': 4, 'y1': 8, 'x2': 3, 'y2': 11},
 {'x1': 4, 'y1': 6, 'x2': 3, 'y2': 3},
 {'x1': 4, 'y1': 10, 'x2': 3, 'y2': 7},
 {'x1': 4, 'y1': 5, 'x2': 7, 'y2': 4},
 {'x1': 4, 'y1': 9, 'x2': 7, 'y2': 8},
 {'x1': 4, 'y1': 3, 'x2': 7, 'y2': 4},
 {'x1': 4, 'y1': 7, 'x2': 7, 'y2': 8},
 {'x1': 4, 'y1': 1, 'x2': 7, 'y2': 2},
 {'x1': 4, 'y1': 5, 'x2': 7, 'y2': 6},
 {'x1': 4, 'y1': 9, 'x2': 7, 'y2': 10},
 {'x1': 4, 'y1': 3, 'x2': 7, 'y2': 2},
 {'x1': 4, 'y1': 7, 'x2': 7, 'y2': 6},
 {'x1': 4, 'y1': 4, 'x2': 7, 'y2': 5},
 {'x1': 4, 'y1': 8, 'x2': 7, 'y2': 9},
 {'x1': 4, 'y1': 2, 'x2': 7, 'y2': 1},
 {'x1': 4, 'y1': 6, 'x2': 7, 'y2': 5},
 {'x1': 4, 'y1': 10, 'x2': 7, 'y2': 9},
 {'x1': 4, 'y1': 4, 'x2': 7, 'y2': 3},
 {'x1': 4, 'y1': 8, 'x2': 7, 'y2': 7},
 {'x1': 4, 'y1': 2, 'x2': 7, 'y2': 3},
 {'x1': 4, 'y1': 6, 'x2': 7, 'y2': 7},
 {'x1': 4, 'y1': 10, 'x2': 7, 'y2': 11},
 {'x1': 2, 'y1': 1, 'x2': 3, 'y2': 4},
 {'x1': 2, 'y1': 5, 'x2': 3, 'y2': 8},
 {'x1': 2, 'y1': 9, 'x2': 3, 'y2': 12},
 {'x1': 2, 'y1': 7, 'x2': 3, 'y2': 4},
 {'x1': 2, 'y1': 5, 'x2': 3, 'y2': 2},
 {'x1': 2, 'y1': 9, 'x2': 3, 'y2': 6},
 {'x1': 2, 'y1': 3, 'x2': 3, 'y2': 6},
 {'x1': 2, 'y1': 7, 'x2': 3, 'y2': 10},
 {'x1': 2, 'y1': 4, 'x2': 3, 'y2': 1},
 {'x1': 2, 'y1': 8, 'x2': 3, 'y2': 5},
 {'x1': 2, 'y1': 2, 'x2': 3, 'y2': 5},
 {'x1': 2, 'y1': 6, 'x2': 3, 'y2': 9},
 {'x1': 2, 'y1': 10, 'x2': 3, 'y2': 13},
 {'x1': 2, 'y1': 4, 'x2': 3, 'y2': 7},
 {'x1': 2, 'y1': 8, 'x2': 3, 'y2': 11},
 {'x1': 2, 'y1': 6, 'x2': 3, 'y2': 3},
 {'x1': 2, 'y1': 10, 'x2': 3, 'y2': 7},
 {'x1': 6, 'y1': 5, 'x2': 3, 'y2': 4},
 {'x1': 6, 'y1': 9, 'x2': 3, 'y2': 8},
 {'x1': 6, 'y1': 3, 'x2': 3, 'y2': 4},
 {'x1': 6, 'y1': 7, 'x2': 3, 'y2': 8},
 {'x1': 6, 'y1': 1, 'x2': 3, 'y2': 2},
 {'x1': 6, 'y1': 5, 'x2': 3, 'y2': 6},
 {'x1': 6, 'y1': 9, 'x2': 3, 'y2': 10},
 {'x1': 6, 'y1': 3, 'x2': 3, 'y2': 2},
 {'x1': 6, 'y1': 7, 'x2': 3, 'y2': 6},
 {'x1': 6, 'y1': 4, 'x2': 3, 'y2': 5},
 {'x1': 6, 'y1': 8, 'x2': 3, 'y2': 9},
 {'x1': 6, 'y1': 2, 'x2': 3, 'y2': 1},
 {'x1': 6, 'y1': 6, 'x2': 3, 'y2': 5},
 {'x1': 6, 'y1': 10, 'x2': 3, 'y2': 9},
 {'x1': 6, 'y1': 4, 'x2': 3, 'y2': 3},
 {'x1': 6, 'y1': 8, 'x2': 3, 'y2': 7},
 {'x1': 6, 'y1': 2, 'x2': 3, 'y2': 3},
 {'x1': 6, 'y1': 6, 'x2': 3, 'y2': 7},
 {'x1': 6, 'y1': 10, 'x2': 3, 'y2': 11},
 {'x1': 6, 'y1': 1, 'x2': 7, 'y2': 4},
 {'x1': 6, 'y1': 5, 'x2': 7, 'y2': 8},
 {'x1': 6, 'y1': 9, 'x2': 7, 'y2': 12},
 {'x1': 6, 'y1': 7, 'x2': 7, 'y2': 4},
 {'x1': 6, 'y1': 5, 'x2': 7, 'y2': 2},
 {'x1': 6, 'y1': 9, 'x2': 7, 'y2': 6},
 {'x1': 6, 'y1': 3, 'x2': 7, 'y2': 6},
 {'x1': 6, 'y1': 7, 'x2': 7, 'y2': 10},
 {'x1': 6, 'y1': 4, 'x2': 7, 'y2': 1},
 {'x1': 6, 'y1': 8, 'x2': 7, 'y2': 5},
 {'x1': 6, 'y1': 2, 'x2': 7, 'y2': 5},
 {'x1': 6, 'y1': 6, 'x2': 7, 'y2': 9},
 {'x1': 6, 'y1': 10, 'x2': 7, 'y2': 13},
 {'x1': 6, 'y1': 4, 'x2': 7, 'y2': 7},
 {'x1': 6, 'y1': 8, 'x2': 7, 'y2': 11},
 {'x1': 6, 'y1': 6, 'x2': 7, 'y2': 3},
 {'x1': 6, 'y1': 10, 'x2': 7, 'y2': 7},
 {'x1': 8, 'y1': 5, 'x2': 5, 'y2': 4},
 {'x1': 8, 'y1': 9, 'x2': 5, 'y2': 8},
 {'x1': 8, 'y1': 3, 'x2': 5, 'y2': 4},
 {'x1': 8, 'y1': 7, 'x2': 5, 'y2': 8},
 {'x1': 8, 'y1': 1, 'x2': 5, 'y2': 2},
 {'x1': 8, 'y1': 5, 'x2': 5, 'y2': 6},
 {'x1': 8, 'y1': 9, 'x2': 5, 'y2': 10},
 {'x1': 8, 'y1': 3, 'x2': 5, 'y2': 2},
 {'x1': 8, 'y1': 7, 'x2': 5, 'y2': 6},
 {'x1': 8, 'y1': 4, 'x2': 5, 'y2': 5},
 {'x1': 8, 'y1': 8, 'x2': 5, 'y2': 9},
 {'x1': 8, 'y1': 2, 'x2': 5, 'y2': 1},
 {'x1': 8, 'y1': 6, 'x2': 5, 'y2': 5},
 {'x1': 8, 'y1': 10, 'x2': 5, 'y2': 9},
 {'x1': 8, 'y1': 4, 'x2': 5, 'y2': 3},
 {'x1': 8, 'y1': 8, 'x2': 5, 'y2': 7},
 {'x1': 8, 'y1': 2, 'x2': 5, 'y2': 3},
 {'x1': 8, 'y1': 6, 'x2': 5, 'y2': 7},
 {'x1': 8, 'y1': 10, 'x2': 5, 'y2': 11},
 {'x1': 8, 'y1': 1, 'x2': 7, 'y2': 4},
 {'x1': 8, 'y1': 5, 'x2': 7, 'y2': 8},
 {'x1': 8, 'y1': 9, 'x2': 7, 'y2': 12},
 {'x1': 8, 'y1': 7, 'x2': 7, 'y2': 4},
 {'x1': 8, 'y1': 5, 'x2': 7, 'y2': 2},
 {'x1': 8, 'y1': 9, 'x2': 7, 'y2': 6},
 {'x1': 8, 'y1': 3, 'x2': 7, 'y2': 6},
 {'x1': 8, 'y1': 7, 'x2': 7, 'y2': 10},
 {'x1': 8, 'y1': 4, 'x2': 7, 'y2': 1},
 {'x1': 8, 'y1': 8, 'x2': 7, 'y2': 5},
 {'x1': 8, 'y1': 2, 'x2': 7, 'y2': 5},
 {'x1': 8, 'y1': 6, 'x2': 7, 'y2': 9},
 {'x1': 8, 'y1': 10, 'x2': 7, 'y2': 13},
 {'x1': 8, 'y1': 4, 'x2': 7, 'y2': 7},
 {'x1': 8, 'y1': 8, 'x2': 7, 'y2': 11},
 {'x1': 8, 'y1': 6, 'x2': 7, 'y2': 3},
 {'x1': 8, 'y1': 10, 'x2': 7, 'y2': 7},
 {'x1': 10, 'y1': 5, 'x2': 7, 'y2': 4},
 {'x1': 10, 'y1': 9, 'x2': 7, 'y2': 8},
 {'x1': 10, 'y1': 3, 'x2': 7, 'y2': 4},
 {'x1': 10, 'y1': 7, 'x2': 7, 'y2': 8},
 {'x1': 10, 'y1': 1, 'x2': 7, 'y2': 2},
 {'x1': 10, 'y1': 5, 'x2': 7, 'y2': 6},
 {'x1': 10, 'y1': 9, 'x2': 7, 'y2': 10},
 {'x1': 10, 'y1': 3, 'x2': 7, 'y2': 2},
 {'x1': 10, 'y1': 7, 'x2': 7, 'y2': 6},
 {'x1': 10, 'y1': 4, 'x2': 7, 'y2': 5},
 {'x1': 10, 'y1': 8, 'x2': 7, 'y2': 9},
 {'x1': 10, 'y1': 2, 'x2': 7, 'y2': 1},
 {'x1': 10, 'y1': 6, 'x2': 7, 'y2': 5},
 {'x1': 10, 'y1': 10, 'x2': 7, 'y2': 9},
 {'x1': 10, 'y1': 4, 'x2': 7, 'y2': 3},
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 {'x1': 5, 'y1': 10, 'x2': 8, 'y2': 9},
 {'x1': 5, 'y1': 4, 'x2': 8, 'y2': 3},
 {'x1': 5, 'y1': 8, 'x2': 8, 'y2': 7},
 {'x1': 5, 'y1': 2, 'x2': 8, 'y2': 3},
 {'x1': 5, 'y1': 6, 'x2': 8, 'y2': 7},
 {'x1': 5, 'y1': 10, 'x2': 8, 'y2': 11},
 {'x1': 7, 'y1': 1, 'x2': 8, 'y2': 4},
 {'x1': 7, 'y1': 5, 'x2': 8, 'y2': 8},
 {'x1': 7, 'y1': 9, 'x2': 8, 'y2': 12},
 {'x1': 7, 'y1': 7, 'x2': 8, 'y2': 4},
 {'x1': 7, 'y1': 5, 'x2': 8, 'y2': 2},
 {'x1': 7, 'y1': 9, 'x2': 8, 'y2': 6},
 {'x1': 7, 'y1': 3, 'x2': 8, 'y2': 6},
 {'x1': 7, 'y1': 7, 'x2': 8, 'y2': 10},
 {'x1': 7, 'y1': 4, 'x2': 8, 'y2': 1},
 {'x1': 7, 'y1': 8, 'x2': 8, 'y2': 5},
 {'x1': 7, 'y1': 2, 'x2': 8, 'y2': 5},
 {'x1': 7, 'y1': 6, 'x2': 8, 'y2': 9},
 {'x1': 7, 'y1': 10, 'x2': 8, 'y2': 13},
 {'x1': 7, 'y1': 4, 'x2': 8, 'y2': 7},
 {'x1': 7, 'y1': 8, 'x2': 8, 'y2': 11},
 {'x1': 7, 'y1': 6, 'x2': 8, 'y2': 3},
 {'x1': 7, 'y1': 10, 'x2': 8, 'y2': 7},
 {'x1': 7, 'y1': 5, 'x2': 10, 'y2': 4},
 {'x1': 7, 'y1': 9, 'x2': 10, 'y2': 8},
 {'x1': 7, 'y1': 3, 'x2': 10, 'y2': 4},
 {'x1': 7, 'y1': 7, 'x2': 10, 'y2': 8},
 {'x1': 7, 'y1': 1, 'x2': 10, 'y2': 2},
 {'x1': 7, 'y1': 5, 'x2': 10, 'y2': 6},
 {'x1': 7, 'y1': 9, 'x2': 10, 'y2': 10},
 {'x1': 7, 'y1': 3, 'x2': 10, 'y2': 2},
 {'x1': 7, 'y1': 7, 'x2': 10, 'y2': 6},
 {'x1': 7, 'y1': 4, 'x2': 10, 'y2': 5},
 {'x1': 7, 'y1': 8, 'x2': 10, 'y2': 9},
 {'x1': 7, 'y1': 2, 'x2': 10, 'y2': 1},
 {'x1': 7, 'y1': 6, 'x2': 10, 'y2': 5},
 {'x1': 7, 'y1': 10, 'x2': 10, 'y2': 9},
 {'x1': 7, 'y1': 4, 'x2': 10, 'y2': 3},
 {'x1': 7, 'y1': 8, 'x2': 10, 'y2': 7},
 {'x1': 7, 'y1': 2, 'x2': 10, 'y2': 3},
 {'x1': 7, 'y1': 6, 'x2': 10, 'y2': 7},
 {'x1': 7, 'y1': 10, 'x2': 10, 'y2': 11},
 {'x1': 9, 'y1': 1, 'x2': 8, 'y2': 4},
 {'x1': 9, 'y1': 1, 'x2': 10, 'y2': 4},
 {'x1': 9, 'y1': 5, 'x2': 8, 'y2': 8},
 {'x1': 9, 'y1': 5, 'x2': 10, 'y2': 8},
 {'x1': 9, 'y1': 9, 'x2': 8, 'y2': 12},
 {'x1': 9, 'y1': 9, 'x2': 10, 'y2': 12},
 {'x1': 9, 'y1': 7, 'x2': 8, 'y2': 4},
 {'x1': 9, 'y1': 7, 'x2': 10, 'y2': 4},
 {'x1': 9, 'y1': 5, 'x2': 8, 'y2': 2},
 {'x1': 9, 'y1': 5, 'x2': 10, 'y2': 2},
 {'x1': 9, 'y1': 9, 'x2': 8, 'y2': 6},
 {'x1': 9, 'y1': 9, 'x2': 10, 'y2': 6},
 {'x1': 9, 'y1': 3, 'x2': 8, 'y2': 6},
 {'x1': 9, 'y1': 3, 'x2': 10, 'y2': 6},
 {'x1': 9, 'y1': 7, 'x2': 8, 'y2': 10},
 {'x1': 9, 'y1': 7, 'x2': 10, 'y2': 10},
 {'x1': 9, 'y1': 4, 'x2': 8, 'y2': 1},
 {'x1': 9, 'y1': 4, 'x2': 10, 'y2': 1},
 {'x1': 9, 'y1': 8, 'x2': 8, 'y2': 5},
 {'x1': 9, 'y1': 8, 'x2': 10, 'y2': 5},
 {'x1': 9, 'y1': 2, 'x2': 8, 'y2': 5},
 {'x1': 9, 'y1': 2, 'x2': 10, 'y2': 5},
 {'x1': 9, 'y1': 6, 'x2': 8, 'y2': 9},
 {'x1': 9, 'y1': 6, 'x2': 10, 'y2': 9},
 {'x1': 9, 'y1': 10, 'x2': 8, 'y2': 13},
 {'x1': 9, 'y1': 10, 'x2': 10, 'y2': 13},
 {'x1': 9, 'y1': 4, 'x2': 8, 'y2': 7},
 {'x1': 9, 'y1': 4, 'x2': 10, 'y2': 7},
 {'x1': 9, 'y1': 8, 'x2': 8, 'y2': 11},
 {'x1': 9, 'y1': 8, 'x2': 10, 'y2': 11},
 {'x1': 9, 'y1': 6, 'x2': 8, 'y2': 3},
 {'x1': 9, 'y1': 6, 'x2': 10, 'y2': 3},
 {'x1': 9, 'y1': 10, 'x2': 8, 'y2': 7},
 {'x1': 9, 'y1': 10, 'x2': 10, 'y2': 7}]

【讨论】：

  • 谢谢。我如何实现第一个要点，即所有 z 项目将被放置在平面上？
  • 有两个项目，一个坐标为x1、y1，另一个坐标为x2、y2。根据定义，这两个项目位于 (Euclidean) 平面中。
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