在 Python 中随机生成特定长度的整数分区的算法？

Question

我一直在使用 SAGE 提供的 random_element() 函数为特定长度 (S) 的给定整数 (N) 生成随机整数分区。我正在尝试从给定值N 和S 的所有分区集中生成无偏随机样本。 SAGE 的函数快速返回 N 的随机分区（即Partitions(N).random_element()）。

但是，添加S（即Partitions(N,length=S).random_element()）时速度会大大降低。同样，过滤掉长度为S 的N 的随机分区非常慢。

但是，我希望这对某人有所帮助，我发现在函数返回 N 的分区与长度不匹配 S 的情况下，共轭分区的长度通常为 S。 ：

S = 10
N = 100
part = list(Partitions(N).random_element())
    if len(part) != S:
        SAD = list(Partition(part).conjugate())
        if len(SAD) != S:
            continue

这增加了找到长度为S 的分区的速率，并且似乎产生了无偏样本（我已经针对N 和S 的各种值检查了整个分区集的结果）。

但是，我使用 N（例如 10,000）和 S（例如 300）的值，这使得即使这种方法也变得不切实际地慢。与 SAGE 的 random_element() 函数相关的评论承认有很大的优化空间。那么，有没有办法通过不生成与S 不匹配的分区来更快地生成匹配给定值N 和S 的整数分区的无偏（即随机统一）样本？此外，在许多情况下使用共轭分区可以很好地生成无偏样本，但我不能说我完全理解为什么。

Answer 1

简单方法：随机分配整数：

def random_partition(n, s):
    partition = [0] * s
    for x in range(n):
        partition[random.randrange(s)] += 1
    return partition

Answer 2

我在尝试计算强生日问题的概率时遇到了类似的问题。

首先，当只给出适量的数字时，分区函数会爆炸。你会返回很多信息。无论您使用哪种方法，N = 10000 和 S = 300 都会产生荒谬的数据量。它会很慢。您使用的任何纯 python 实现都有可能同样慢或慢。期待制作一个 CModule。

如果您想尝试 python，我采用了结合 itertools 和生成器来降低内存使用率的方法。我的代码似乎不再方便了，但这是一个很好的实现：

http://wordaligned.org/articles/partitioning-with-python

编辑：

找到我的代码：

def partition(a, b=-1, limit=365):
  if (b == -1):
    b = a
  if (a == 2 or a == 3):
    if (b >= a and limit):
      yield [a]
    else:
      return
  elif (a > 3):
    if (a <= b):
      yield [a]
    c = 0
    if b > a-2:
      c = a-2
    else:
      c = b
    for i in xrange(c, 1, -1):
      if (limit):
        for j in partition(a-i, i, limit-1):
          yield [i] + j

Answer 3

最后，我有一个绝对无偏见的方法，拒绝率为零。当然，我已经对其进行了测试，以确保结果是整个可行集的代表性样本。它非常快而且完全没有偏见。享受吧。

from sage.all import *
import random

首先，一个函数为 n 和 s 部分的分区找到最小的最大加数

def min_max(n,s):

    _min = int(floor(float(n)/float(s)))
    if int(n%s) > 0:
        _min +=1

    return _min

接下来，一个使用缓存和记忆来查找分区数量的函数 n 的 s 部分以 x 为最大部分。这很快，但我认为有 有一个更优雅的解决方案。例如，通常：P(N,S,max=K) = P(N-K,S-1) 感谢 ante (https://stackoverflow.com/users/494076/ante) 帮助我解决这个问题： Finding the number of integer partitions given a total, a number of parts, and a maximum summand

D = {}
def P(n,s,x):
    if n > s*x or x <= 0: return 0
    if n == s*x: return 1
    if (n,s,x) not in D:
        D[(n,s,x)] = sum(P(n-i*x, s-i, x-1) for i in xrange(s))
    return D[(n,s,x)]

最后，一个函数找到 n 和 s 部分的均匀随机分区，没有拒绝率！每个随机选择的数字代码代表 n 个具有 s 个部分的特定分区。

def random_partition(n,s):
    S = s
    partition = []
    _min = min_max(n,S)
    _max = n-S+1

    total = number_of_partitions(n,S)
    which = random.randrange(1,total+1) # random number

    while n:
        for k in range(_min,_max+1):
            count = P(n,S,k)
            if count >= which:
                count = P(n,S,k-1)
                break

        partition.append(k)
        n -= k
        if n == 0: break
        S -= 1
        which -= count
        _min = min_max(n,S)
        _max = k

    return partition