需要动态规划的爬山问题答案

【问题标题】：Hill climbing problem requiring Dynamic programming需要动态规划的爬山问题
【发布时间】：2020-10-31 04:10:05
【问题描述】：

所以，基本上问题在于有一系列山点。我们只能从一个山点移动到下一个更大的山点。

请看下图了解一下。

上图黑点是山顶，每个山顶都有一些香料，有一定的味道价值。我们可以从一个山顶移动到另一个山顶品尝其中的香料。

请参阅下图以了解有效动作。 green lines gives valid movements。

所以，现在我们将得到一个包含 2 个整数 b,c 的查询，对于每个查询，我们需要确定从 b 山点移动到 c 是否可行。如果是，那么我们必须输出旅程的总味道。

假设有一个查询，其中 b = 1 , c = 10。

所以我们需要找到从1号山到10号山的移动是否可行，如果是，我们必须输出旅程的美味。

如果查询量非常少，问题就很简单了，因为对于每个查询，我们可以在循环中迭代，看看是否可以从 1 到 10，如果可以，那么我们将总结味道。

对于这个特殊问题，我们的路径将是 1-->2-->6-->7-->9-->10。

但是如果查询结果是 b = 1 , c = 11。

所以我们不能从 1 到 11，因此没有路径是可能的，答案是 -1。

但是当有非常大的查询时，我们可以为每个查询循环迭代。我的意思是我们必须对数据进行预处理，以便在每个查询中我们只需在恒定时间内计算结果。

我特别想知道什么？

How can i know if reaching from b to c is possible or not in constant time.

If path is possible than how to calculate the sum of path in constant time.

【问题讨论】：

【解决方案1】：

您可以使用 O(n) 空间和 O(n+q) 时间解决此问题，其中 q 是使用最低公共祖先算法的查询数。这是解释算法的topcoder algorithm tutorial。

要将问题转换为这种形式，请为每个小山定义一个节点，并让节点的父节点是我们可以从这一点移动到的小山。引入一个额外的根节点，它是任何没有有效移动的山丘的父节点。

然后要确定是否存在从 b 到 c 的路径，您只需检查 LCA(b,c) 是否等于 c。

您还可以在 O(n) 中预先计算从每个节点开始到根节点结束的路径上的香料总和。要计算沿路径的总和，只需从从 b 开始的总和中减去从 c 开始的总和即可。

一开始构造图似乎有点困难，但这也可以使用 next greater element algorithm 在 O(n) 中完成。

【讨论】：

【解决方案2】：

是的，您可以在O(nlogn) Time 内解决这个问题。

算法

首先为每个小山找到下一个更大的小山（如果存在）。您可以使用堆栈在O(n) 中执行此操作。
现在创建一棵树，其中包含您在步骤 1 中找到的下一个更大的山丘，并检查 a 是否有从 a 到 b 的路径，您可以使用带二元提升的最低共同祖先在 O(logn) 或稀疏表中回答在O(1) 时间回答。如果 LCA(a,b) = c 存在从 a 到 b 的路径。
要计算路径总和，您需要将总和存储在从根节点开始的树节点的每个高度。这也可以使用 DFS 或 BFS 在O(n) 中完成。
最后你的整个程序将在O(nlogn) even in worst case 中运行

【讨论】：