如何将整数数组转换为排列并计算其中的循环？

Question

我一直在网上查看并询问朋友，因为我对编码非常陌生。我发现所有这些帖子都是关于在 n 个字母上写下所有可能的排列。我不是在找那个。

我想要实现的是给定一个整数数组，我想将其转换为如下排列。假设 X 是一个整数数组；

X= { 3, 4, 1, 2, 5}

现在熟悉置换群（或对称群）的人会知道，任何置换都有循环符号。我想将 X 视为一些分配值的函数，如下所示；

1 --> 3

2 --> 4

3 --> 1

4 --> 2

5 --> 5

在某种程度上，如果上述函数是置换 sigma，那么我们有 sigma(1)= X 中的第 1 个条目，sigma(2)= X 中的第 2 个条目，依此类推。

最后，我需要计算这个排列中有多少个循环，或者一个循环符号中的循环数。同样对于上面的例子，我们有

1 --> 3 --> 1（所以这是一个循环）

2 --> 4 --> 2（另一个循环）

5 --> 5（这也是一个循环）

所以它也应该告诉我在这种情况下 X 有 3 个循环。

这可能是一个详细的问题，但任何一点点的帮助都非常感谢。非常感谢大家！

Answer 1

整数数组已经是一个排列，仅偏移一，因为 C 中的数组是零索引的。您可以循环遍历该数组/排列p；一旦看到不属于任何已知循环的元素x，就不断计算p[x]、p[p[x]], ...，直到返回x（在C 代码中执行此操作时减去1 以说明零索引C 数组）。那是一个周期；考虑这个循环并继续下一个元素。 C 代码如下所示。

另一种方法是将排列转换为图形并计算图形中连接组件的数量，如here所做的那样。

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

unsigned count_cycles(const unsigned permutation[], const unsigned n)
{
    unsigned num_cycles = 0;
    bool visited[n];
    unsigned i;

    // initially, no elements are visited
    for(i = 0; i < n; ++i) {
        visited[i] = false;
    }

    // iterate through all elements
    for(i = 0; i < n; ++i) {
        if(!visited[i]) {
            // found a new cycle; mark all elements in it as visited
            int x = i;
            do {
                visited[x] = true;
                x = permutation[x] - 1;
            } while(!visited[x]);
            // account for the new cycle
            num_cycles++;
        }
    }

    return num_cycles;
}

int main()
{
    const unsigned permutation[] = { 3, 4, 1, 2, 5};
    const unsigned N = 5;
    printf("%u\n", count_cycles(permutation, N)); // prints "3"
}