使用少于排列长度的字节保存排列

Question

我想将长度 N 的排列保存在小于 N 字节的范围内。长度N的排列有元素1,2,3,....,N。

排列具有以下偏好：

• 只有 1 个周期

• 可以通过 DI 序列和等级来描述 permutation ranking with DI sequence

• 有实力 Next permutation/ranking with specific strength

补充阅读：Rank and unrank permutation with special properties

有没有办法结合这些偏好来最小化排名的可能排列？还是有更多的偏好可以用来描述排列的字节数少于长度？

我的想法是指定一个排列子集，然后对其进行排名，但我未能组合首选项以创建一个通过首选项定义的子集。

Answer 1

一般来说不会。

只有一个循环的长度为n的排列与长度为n-1的排列一一对应。

强度是介于两者之间的正整数，不能超过n^2。

可能的位串数为2^(n-1)。

根据信鸽原则，对于一些位串和一些强度，至少必须有(n-1)! / (2^(n-1) n^2) = n! / (2^(n-1) n^3)。

从Stirling's approximation我们可以看到

log2( n! / (2^(n-1) n^3) )
    = n log2(n) - n log2(e) + O(log2(n)) - (n-1) - 3 log2(n)
    = n log2(n) - n (log2(e) + 1) - O(log2(n))
    = n log2(n) + O(n)

这告诉我们，即使在您的条件下，所需的位数也会比线性增长更快。因此，对于足够大的 n，您将需要超过 n 字节的数据来指定单个排列。