如何以元素值除以数组总和的概率返回元素的索引

Question

给定一个数组和一个值 k，编写一个函数以返回等于 k ​​的元素的索引，概率为 k/sum（输入数组）。假设输入数组中没有重复的数字。

例如，如果输入数组是 1,4,2,3。该函数应具有以下行为：

以 1/10 的概率返回 0；

以 4/10 的概率返回 1；

以 2/10 的概率返回 2；

以 3/10 的概率返回 3；

问题2：如果数组有重复怎么处理？

我在想二进制搜索可以很好地在数组中找到一个元素，但是我还没有弄清楚如何将它与概率联系起来。

已编辑： 正如建议的那样，this question 与我的问题类似。然而，它的解决方案并不是我所期望的。我一直在寻找嵌入二分搜索的解决方案，这可能会降低时间复杂度。

A good solution 关于给定一个键，如何使用二分搜索在排序数组中找到大于键的第一个元素。

Answer 1

这看起来像简单的采样器（实际上是） ，但检查元素的顺序有一种微妙之处。 通过将最大的权重放在前面，循环通常只需几次迭代即可完成。因此，如果分布非常偏斜，则此方法平均而言可能更快。

[我使用这个技巧从 Wakkerbot 中马尔可夫节点中使用的随机向量中采样]

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

struct samp {
    int ret;
    unsigned weight;
    } array[4] = {{ 1,4}, { 3,3}, {2,2}, { 0,1} };

unsigned sumweight = 10;

     /* this is a *terrible* way to obtain a uniform random value */
#define urand(n) (random() % (n))

int sample(void)
{
unsigned idx, val;

val = urand(sumweight);

for( idx=0; idx < 4; idx++ ) {
    if (val < array[idx].weight) return array[idx].ret;
    val -= array[idx].weight;
    }
return -1;
}

int main(void)
{
int ret;
unsigned loop;

for (loop = 0; loop < 20; loop++) {
    ret = sample();
    printf("%u: %d\n" , loop, ret);
    }
return 0;
}

Answer 2

对所有元素求和（表示和 S），然后生成一个从 1 到 S 的随机数 r。然后遍历所有数字 a_i。如果 a_i 不小于 r，则返回 a_i。否则从 r 中减去 a_i。继续直到返回一个值。如果您有一个查询，您将无法改进此解决方案。

编辑（感谢胡安洛佩兹）： 但是，如果您要回答多个查询，则可以使用 prefix sum 中的预计算并将其与二分搜索结合起来以找到 sum ^x_{i=0 的确切位置 k sub>ai 将小于 k 并且 x 是最大值。请注意，在进行前缀总和预计算之后，您可以在恒定时间内计算 sum ^xi=0ai。}

Answer 3

您可以从输入中创建一个累积数组，其中B[i] = A[0] + A[1] + ... + A[i]。在1和sum(A)之间生成一个随机整数x，然后对不小于x的第一个元素进行二分搜索B。

这是一个 Python 示例（使用 Python 的 bisect 模块，这本质上是一种二分搜索）。

import random, bisect, collections

def make_random(A):
    s = sum(A)
    B = list(A)
    for i in xrange(1, len(B)):
        B[i] += B[i-1]
    def fn():
        r = random.randint(1, s)
        return bisect.bisect_left(B, r)
    return fn

rnd = make_random([1,4,2,3])

c = collections.Counter()
for i in xrange(10000):
    c[rnd()]+=1

print c

结果将如下所示：

Counter({1: 3960, 3: 3036, 2: 1992, 0: 1012})

Answer 4

给定一个数组和一个值 k，编写一个函数来返回 等于 k ​​且概率为 k/sum（输入数组）的元素

您可以从[1, sum] 将问题简化为统一抽样。想法是使用你初始列表的累积列表cum_distr，并在[1,sum]中统一采样一个数字r，并找到最高的i这样r<=cum_distr[i]

import random


def get_cum_distr(distr):
    cum_distr = []
    sum = 0
    for i in range(len(distr)):
        sum += distr[i]
        cum_distr.append(sum)
    return cum_distr


def sampler(cum_distr):
    r = random.randint(1, cum_distr[-1])
    i = 0
    while r > cum_distr[i]:
        i += 1
    return i


distr = [1, 4, 2, 3]
cum_distr = get_cum_distr(distr)
#test sampler
sample_size = 100000
samples = []
count = dict()
for _ in range(sample_size):
    r = sampler(cum_distr)
    if r in count:
        count[r] += 1
    else:
        count[r] = 1
#{0: 9996, 1: 40115, 2: 19934, 3: 29955}

请注意，如果搜索索引的开销很大，您可以使用二分搜索代替，因为cum_distr 是非递减的。

如果数组有重复怎么处理？

没关系。